สัปดาห์ที่ 9: ทฤษฎีบทหลักมูลและการแทนค่า

ยินดีต้อนรับกลับจากสอบกลางภาค สัปดาห์ที่ 7 ทิ้งให้อนุพันธ์และปริพันธ์จำกัดเขตดูเหมือน เป็นลิมิตสองแบบที่ไม่เกี่ยวข้องกัน — แบบหนึ่งพูดถึงความชันเส้นสัมผัส อีกแบบพูดถึงพื้นที่ สัปดาห์นี้พิสูจน์ว่าทั้งสองเป็นกระบวนการผกผันกัน ซึ่งเป็นข้อเท็จจริงที่มีประโยชน์ที่สุดในวิชาทั้งหมด: มันแทนที่ลิมิตของผลรวมรีมันน์ในสัปดาห์ที่ 7 ด้วยการหาปฏิยานุพันธ์ธรรมดาสำหรับปริพันธ์เกือบทุกตัวที่ คุณจะคำนวณด้วยมือ

9.1 ทฤษฎีบทหลักมูล ส่วนที่ 1

นิยาม F(x) = ∫_a^x f(t) dt — ปริพันธ์จากจุดคงที่ a ถึงขอบเขตบนที่ เป็นตัวแปร x ถ้า f ต่อเนื่อง แล้ว

F′(x) = f(x) (9.1)

กล่าวคือ: การหาอนุพันธ์ของปริพันธ์เทียบกับขอบเขตบนของมันจะได้ปริพันธ์ตั้งเดิมกลับคืนมา อัตราที่ พื้นที่สะสมเพิ่มขึ้น ณ x คือความสูงของเส้นโค้ง ณ จุดนั้นพอดี — อนุพันธ์ยกเลิกปริพันธ์

ตัวอย่าง 9.1 — การใช้ทฤษฎีบทหลักมูลส่วนที่ 1 โดยตรง

จงหา d/dx ∫₂^x √(1+t³) dt

ขั้นที่ 1 — จำรูปแบบของสมการ 9.1

ที่นี่ f(t) = √(1+t³) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และขอบเขตบนคือ x เอง

ขั้นที่ 2 — ใช้ทฤษฎีบท

d/dx ∫₂^x √(1+t³) dt = √(1+x³) — ไม่ต้องคำนวณปฏิยานุพันธ์เลย

เมื่อขอบเขตบนเป็นฟังก์ชัน g(x) เองแทนที่จะเป็น x ธรรมดา กฎลูกโซ่ (สัปดาห์ที่ 4 §4.10) จะเข้ามาแนบโดยอัตโนมัติ:

d/dx ∫_a^g(x) f(t) dt = f(g(x))·g′(x) (9.2)

9.2 ทฤษฎีบทหลักมูล ส่วนที่ 2

ถ้า f ต่อเนื่องบน [a,b] และ F เป็นปฏิยานุพันธ์ ใดก็ได้ ของ f (คือ F′=f) แล้ว

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a) (9.3)

เขียนแทนด้วย F(x)]_a^b นี่คือ ครึ่งที่ใช้งานได้จริง: มันแทนที่ลิมิตของผลรวมรีมันน์จากสัปดาห์ที่ 7 §7.5 ด้วย “หาปฏิยานุพันธ์ ใดก็ได้ แล้วลบกัน” — ไม่ต้องมีลิมิต ไม่ต้องมีผลรวม

ตัวอย่าง 9.2 — คำนวณปริพันธ์จากสัปดาห์ที่ 7 ใหม่ในทันที

จงหาค่า ∫₀² x² dx โดยใช้ทฤษฎีบทหลักมูลส่วนที่ 2 แล้วเทียบกับการคำนวณด้วยลิมิตในสัปดาห์ที่ 7 ตัวอย่าง 7.2

ขั้นที่ 1 — หาปฏิยานุพันธ์ใดก็ได้ของ x²

F(x) = x³/3 ใช้ได้ เพราะ F′(x) = x²

ขั้นที่ 2 — ใช้สมการ 9.3

F(2) − F(0) = 8/3 − 0

= 8/3 ตรงกับคำตอบจากลิมิตของผลรวมรีมันน์ในสัปดาห์ที่ 7 พอดี — โดยไม่ต้อง คำนวณผลรวมหรือลิมิตแม้แต่ตัวเดียวในครั้งนี้

9.3 ทำไมสองส่วนจึงเข้ากันได้

ส่วนที่ 1 กล่าวว่าอนุพันธ์ของปริพันธ์ (ที่มีขอบเขตบนเป็นตัวแปร) จะให้ปริพันธ์ตั้งกลับคืนมา ส่วนที่ 2 กล่าวว่าปริพันธ์หาค่าได้โดยใช้ปฏิยานุพันธ์ใดก็ได้ เมื่อรวมกันแล้วทั้งสองกล่าวว่า การหาอนุพันธ์และ การหาปริพันธ์เป็นการดำเนินการผกผันกัน — ความสัมพันธ์เดียวกับที่ f และ f⁻¹ ยกเลิกกันเอง แต่สำหรับการดำเนินการหลักสองอย่างของแคลคูลัส แทนที่จะ เป็นตัวเลข

9.4 ปริพันธ์ไม่จำกัดเขตและตระกูลปฏิยานุพันธ์

ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต ∫ f(x) dx แทนตระกูลปฏิยานุพันธ์ทั้งหมดของ f ไม่ใช่ฟังก์ชันเดียวหรือตัวเลขตัวเดียว:

∫ f(x) dx = F(x) + C (9.4)

โดย F′=f และ C เป็นค่าคงที่โดยพลการ นี่คือผลสืบเนื่องโดยตรง จากทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยในสัปดาห์ที่ 6 §6.5: ปฏิยานุพันธ์สองตัวใด ๆ ของฟังก์ชันเดียวกันต่างกันแค่ ค่าคงที่ ดังนั้นเมื่อพบตัวหนึ่งแล้ว ก็รู้จักทั้งหมด

9.5 สูตรปฏิยานุพันธ์พื้นฐาน

สูตรการหาอนุพันธ์แต่ละสูตรจากสัปดาห์ที่ 4 และ 4.9 อ่านย้อนกลับเป็นสูตรปฏิยานุพันธ์:

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n+1 + C, n ≠ −1 (9.5a)

∫ sin x dx = −cos x + C (9.5b)

∫ cos x dx = sin x + C (9.5c)

∫ sec²x dx = tan x + C (9.5d)

ข้อจำกัด n ≠ −1 ในสมการ 9.5a ทิ้งช่องว่างไว้ — ∫ x⁻¹ dx — ซึ่งสัปดาห์ที่ 11 จะเติมเต็มเมื่อลอการิทึมธรรมชาติถูกนำเสนอ

9.6 วิธีการแทนค่าสำหรับปริพันธ์ไม่จำกัดเขต

การแทนค่า คือปฏิยานุพันธ์คู่หูของกฎลูกโซ่ และมักเรียกว่าการแทนค่า u ในการหาปริพันธ์ ของโครงสร้างฟังก์ชันประกอบ ให้ตั้งชื่อฟังก์ชันชั้นใน u = g(x) คำนวณ du = g′(x)dx แล้วเขียนปริพันธ์ทั้งหมดใหม่ใน รูปของ u เพียงอย่างเดียว

ตัวอย่าง 9.3 — การแทนค่า ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต

จงหาค่า ∫ 2x cos(x²) dx

ขั้นที่ 1 — เลือก u เป็นฟังก์ชันชั้นใน

u = x² ดังนั้น du = 2x dx — ซึ่งตรงกับตัวประกอบที่อยู่ข้าง cos(x²) พอดี

ขั้นที่ 2 — เขียนใหม่ทั้งหมดในรูปของ u

∫ 2x cos(x²) dx = ∫ cos u du

ขั้นที่ 3 — หาปริพันธ์ในรูป u แล้วแทนกลับ

sin u + C

= sin(x²) + C

วิธีทดสอบว่าการแทนค่าจะได้ผลหรือไม่

การแทนค่าจะสำเร็จก็ต่อเมื่อ หลังจากเลือก u แล้ว ทุกส่วนที่เหลือ ของปริพันธ์ — ไม่ใช่แค่บางส่วน — สามารถเขียนใหม่ในรูปของ u ล้วน ๆ ได้ (รวมถึง dx เองผ่าน du) ถ้ามี x เหลืออยู่ที่กำจัดไม่ได้ แสดงว่าเลือก u ผิด หรือปริพันธ์นั้นต้องใช้เทคนิคอื่น (สัปดาห์ที่ 12)

9.7 การแทนค่าในปริพันธ์จำกัดเขต

สำหรับปริพันธ์จำกัดเขต การแทนค่ามีขั้นตอนบัญชีเพิ่มเติม: ขอบเขตการหาปริพันธ์ต้องแปลงจากค่า x เป็นค่า u ที่สอดคล้องกันด้วย เพื่อให้การประเมินค่าสุดท้ายไม่ต้องแทนกลับเป็น x เลย

ตัวอย่าง 9.4 — การแทนค่า ปริพันธ์จำกัดเขต

จงหาค่า ∫₀¹ x√(x²+1) dx

ขั้นที่ 1 — แทนค่าและแปลงขอบเขต

u = x²+1, du = 2x dx ดังนั้น x dx = du/2 ที่ x=0, u=1; ที่ x=1, u=2

ขั้นที่ 2 — เขียนปริพันธ์ทั้งหมดใหม่ในรูป u รวมทั้งขอบเขต

∫₁² √u (du/2) = (1/2)∫₁² u^1/2 du

ขั้นที่ 3 — หาปริพันธ์และประเมินค่าในรูป u โดยตรง (ไม่ต้องแทนกลับ)

(1/2)·(2/3)u^3/2]₁² = (1/3)(2^3/2−1)

= (2√2 − 1)/3

9.8 พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้น

ถ้า f(x) ≥ g(x) บน [a,b] พื้นที่ ระหว่างเส้นโค้งคือ

A = ∫_a^b [f(x) − g(x)] dx (9.6)

— เป็นเส้นโค้งบนลบเส้นโค้งล่างเสมอ ดังนั้นปริพันธ์ตั้งจึงไม่เป็นลบเสมอ และ คำตอบเป็นพื้นที่ที่แท้จริง (ไม่มีเครื่องหมาย) แม้ว่าส่วนหนึ่งของบริเวณจะจมอยู่ใต้แกน x ก็ตาม

ตัวอย่าง 9.5 — พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้น

จงหาพื้นที่ของบริเวณที่ล้อมรอบด้วย y=x² และ y=x+2

ขั้นที่ 1 — หาจุดตัด (ขอบเขตการหาปริพันธ์)

x² = x+2 ⇒ x²−x−2=0 ⇒ (x−2)(x+1)=0 ⇒ x=−1, 2

ขั้นที่ 2 — หาว่าเส้นโค้งใดอยู่บน

ที่ x=0 (ภายในช่วง): เส้นตรงให้ 2 พาราโบลาให้ 0 ดังนั้นเส้นตรงอยู่บน

ขั้นที่ 3 — ใช้สมการ 9.6 แล้วประเมินค่า

A = ∫₋₁² [(x+2) − x²] dx = [x²/2 + 2x − x³/3]₋₁²

ที่ x=2: 2+4−8/3 = 10/3 ที่ x=−1: 1/2−2+1/3 = −7/6

A = 10/3 − (−7/6) = 20/6+7/6 = 27/6 = 9/2

9.9 ตัวอย่างโจทย์สรุปรวม

ตัวอย่าง 9.6 — รวมทฤษฎีบทหลักมูลส่วนที่ 1 กฎลูกโซ่ และการแทนค่า

จงหา h′(x) สำหรับ h(x) = ∫₁^x² sin(√t) dt แล้วยืนยันว่าปริพันธ์ที่อยู่ข้างในสามารถโจมตีด้วยการแทนค่าได้เช่นกัน

ขั้นที่ 1 — ใช้สมการ 9.2 (ทฤษฎีบทหลักมูลส่วนที่ 1 กับขอบเขตบนเป็นฟังก์ชัน)

h′(x) = sin(√x²)·d/dx[x²] = sin(x)·2x โดยใช้ √x²=x สำหรับ x ≥ 0

h′(x) = 2x sin x

ขั้นที่ 2 — สังเกตโครงสร้างการแทนค่าภายในปริพันธ์เอง

ภายใน ∫ sin(√t) dt การแทนค่า u=√t (ดังนั้น t=u², dt=2u du) เปลี่ยนให้เป็น ∫ 2u sin u du — ไม่ใช่ปริพันธ์มูลฐานจากสูตรใน §9.5 เพียงอย่างเดียว (ต้องใช้การหาปริพันธ์แบบแยกส่วน สัปดาห์ที่ 12) ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมทฤษฎีบทหลักมูลส่วนที่ 1 จึงเป็นเส้นทางที่มีประสิทธิภาพที่สุด ในที่นี้: มันไม่จำเป็นต้องหาปฏิยานุพันธ์นี้เลย

9.10 สัญลักษณ์ที่ใช้

สัญลักษณ์	ความหมาย
FTC	ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส (Fundamental Theorem of Calculus)
∫ `f`(`x`)`dx`	ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต: ตระกูลปฏิยานุพันธ์ของ f
`C`	ค่าคงที่ของการหาปริพันธ์
การแทนค่า u	การเขียนปริพันธ์ใหม่ในตัวแปร u=g(x) เพื่อยกเลิกกฎลูกโซ่
`F`(`x`)]_a^b	ตัวย่อของ F(b) − F(a)

9.11 แบบฝึกหัด

ทฤษฎีบทหลักมูลส่วนที่ 1. จงหา d/dx ∫₀^x t³ dt
ทฤษฎีบทหลักมูลส่วนที่ 1 กับกฎลูกโซ่. จงหา d/dx ∫₀^sin x √(1+t²) dt
ทฤษฎีบทหลักมูลส่วนที่ 2. จงหาค่า ∫₁⁴ (3x²−2x) dx
ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต. จงหา ∫ (4x³ − sec²x) dx
การแทนค่า ไม่จำกัดเขต. จงหาค่า ∫ x²(x³+1)⁴ dx
การแทนค่า ตรีโกณมิติ. จงหาค่า ∫ sin³x cos x dx
การแทนค่า จำกัดเขต. จงหาค่า ∫₀¹ 3x²√(x³+1) dx
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง 1. จงหาพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วย y=x² และ y=4
พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง 2. จงหาพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วย y=x³ และ y=x เมื่อ x∈[0,1]
โจทย์รวม. จงหาพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วย y=√x และ y=x² โดยใช้การแทนค่าถ้าจำเป็นระหว่างขั้นตอนการหาปริพันธ์

9.12 เอกสารอ้างอิง

Thomas, G. B., Weir, M. D. and Hass, J. Thomas' Calculus, SI Units, 15th ed. Pearson, 2024. — §5.4 (ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส), §5.5 (ปริพันธ์ไม่จำกัดเขตและวิธีการ แทนค่า), §5.6 (การแทนค่าในปริพันธ์จำกัดเขตและพื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง)
Pearson MyLab Math — การบ้านสัปดาห์ที่ 9 มอบหมายโดยตรงจากหัวข้อข้างต้น ดูวันกำหนดส่งได้ที่ ปฏิทินการเรียน

← สัปดาห์ที่ 8: สอบกลางภาค แบบทดสอบทบทวนสัปดาห์ที่ 9 →