อนุพันธ์ทุกตัวจนถึงตอนนี้เป็นของฟังก์ชันที่แก้หา y ไว้แล้ว สัปดาห์นี้จะยกเลิกข้อจำกัดนั้น แล้วนำกฎลูกโซ่ไปใช้แก้โจทย์ที่ปริมาณหลายตัวเปลี่ยนแปลงพร้อมกันตามเวลา — ก่อนปิดท้ายด้วยการ ประมาณเชิงเส้นซึ่งคุณจะได้ใช้อีกครั้งในสัปดาห์ที่ 12 สำหรับกฎโลปิตาล และในสัปดาห์ที่ 16 สำหรับ อนุกรมเทย์เลอร์
5.1 ทำไมไม่ใช่ทุกเส้นโค้งจะเป็น y = f(x)
วงกลม x2+y2=25 ไม่ผ่านการทดสอบเส้นตรงในแนวดิ่ง (สัปดาห์ที่ 1 §1.2) จึงไม่ใช่กราฟของฟังก์ชันเดียว แต่มันก็มีเส้นสัมผัสที่นิยามชัดเจนเกือบทุกจุด และเส้นสัมผัสนั้นก็มีความชัน สมการนี้เชื่อมโยง x กับ y แบบ อิมพลิซิต — โดยไม่เคยแยก y ออกมาเลย — และการหาอนุพันธ์แบบอิมพลิซิต ก็หา dy/dx ได้โดยไม่ต้องแก้หา y ก่อน
5.2 วิธีการหาอนุพันธ์แบบอิมพลิซิต
หาอนุพันธ์ทั้งสองข้างของสมการเทียบกับ x โดยถือว่า y เป็นฟังก์ชัน (ที่ยังไม่รู้จัก) ของ x ทุกครั้งที่ y ปรากฏขึ้น กฎลูกโซ่ (สัปดาห์ที่ 4 §4.10) จะเพิ่มตัวประกอบ dy/dx เข้ามา เพราะจริง ๆ แล้วคุณกำลังหาอนุพันธ์ของ y(x) เทียบกับ x จากนั้นแก้สมการเพื่อหา dy/dx
ตัวอย่าง 5.1 — การหาอนุพันธ์แบบอิมพลิซิตของวงกลม
จงหา dy/dx สำหรับ x2+y2=25
ขั้นที่ 1 — หาอนุพันธ์ทั้งสองข้างเทียบกับ x
d/dx[x2] + d/dx[y2] = d/dx[25]
ขั้นที่ 2 — ใช้กฎกำลังกับ x² และกฎลูกโซ่กับ y²
2x + 2y· dydx = 0
ตัวประกอบ dy/dx ปรากฏขึ้นเพราะ y2 จริง ๆ แล้วคือ [y(x)]2 ซึ่งเป็นฟังก์ชันยกกำลังสองชั้นนอกที่กระทำกับฟังก์ชัน ชั้นใน y(x) — กฎลูกโซ่จึงหลีกเลี่ยงไม่ได้ในกรณีนี้
ขั้นที่ 3 — แก้สมการเชิงพีชคณิตเพื่อหา dy/dx
dydx = −xy
5.3 เส้นสัมผัสของเส้นโค้งอิมพลิซิต
เมื่อรู้ dy/dx เป็นสูตรแล้ว (มักมีทั้ง x และ y) การแทนพิกัดของจุดเฉพาะบนเส้นโค้งจะให้ความชันเชิงตัวเลขที่จุดนั้น เหมือนกับการหาอนุพันธ์แบบเอ็กซ์พลิซิต ทุกประการ
ตัวอย่าง 5.2 — เส้นสัมผัสของเส้นโค้งอิมพลิซิต
จงหาเส้นสัมผัสของ x2+y2=25 ที่ (3, 4)
ขั้นที่ 1 — ใช้ผลลัพธ์จากตัวอย่าง 5.1
dy/dx = −x/y = −3/4 ที่ (3,4)
ขั้นที่ 2 — เขียนรูปแบบจุด-ความชัน
y − 4 = −(3/4)(x − 3)
5.4 อนุพันธ์อิมพลิซิตอันดับสูง
อนุพันธ์อันดับสอง d2y/dx2 หาได้โดยหาอนุพันธ์ ของอนุพันธ์อิมพลิซิตอันดับแรกซ้ำอีกครั้ง แล้วแทนนิพจน์ของ dy/dx ที่รู้อยู่แล้ว ทุกจุดที่ปรากฏ เพื่อให้คำตอบสุดท้ายเขียนในรูปของ x และ y เท่านั้น
5.5 การตั้งโจทย์อัตราสัมพัทธ์
โจทย์ อัตราสัมพัทธ์ (related rates) อธิบายปริมาณหลายตัวที่ล้วนเป็นฟังก์ชันของเวลา t เชื่อมโยงกันด้วยสมการทางเรขาคณิตหรือฟิสิกส์ที่คงที่ การหาอนุพันธ์ของสมการนั้นเทียบกับ t (ใช้กฎลูกโซ่เหมือนกับการหาอนุพันธ์แบบอิมพลิซิต แต่ตอนนี้ t เป็นตัวแปรอิสระ) จะได้สมการที่เชื่อมโยงอัตรา dx/dt, dy/dt เป็นต้น — จึงเป็นที่มาของชื่อนี้
5.6 แม่แบบสำหรับโจทย์อัตราสัมพัทธ์
- วาดภาพและกำกับชื่อทุกปริมาณที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา
- เขียนสิ่งที่กำหนดให้ (เป็นอัตรา ณ ขณะหนึ่ง) และสิ่งที่ถามหา (เป็นอัตรา ณ ขณะเดียวกัน)
- หาสมการที่เชื่อมโยงปริมาณเหล่านั้นซึ่งเป็นจริงทุกขณะ ไม่ใช่แค่ขณะที่สนใจ
- หาอนุพันธ์ของสมการเทียบกับ t โดยใช้กฎลูกโซ่
- แทนค่าตัวเลขที่รู้ — แต่ทำหลังจากหาอนุพันธ์แล้วเท่านั้น ห้ามแทนก่อน
- แก้สมการเพื่อหาอัตราที่ไม่ทราบ
การแทนค่าตัวเลขเฉพาะให้กับตัวแปรก่อนหาอนุพันธ์จะทำให้ตัวแปรนั้นถูกมองเป็นค่าคงที่ตั้งแต่นั้นไป ซึ่งทำลายอัตราการเปลี่ยนแปลงของมันไปโดยไม่รู้ตัว ให้คงทุกปริมาณเป็นสัญลักษณ์ไว้จนกว่าจะผ่านขั้นที่ 4
5.7 ตัวอย่างโจทย์อัตราสัมพัทธ์
ตัวอย่าง 5.3 — โจทย์บันไดคลาสสิก
บันไดยาว 10 เมตรพิงกำแพง ปลายล่างเลื่อนออกจากกำแพงด้วยอัตรา 1 เมตร/วินาที ปลายบนกำลังเลื่อนลง เร็วแค่ไหนเมื่อปลายล่างอยู่ห่างจากกำแพง 6 เมตร
ขั้นที่ 1 — กำกับชื่อและหาสมการควบคุม
ให้ x = ระยะจากฐานถึงกำแพง, y = ความสูงของปลายบน โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส x2+y2 = 100 ทุกขณะ
ขั้นที่ 2 — หาอนุพันธ์เทียบกับ t
2x dxdt + 2y dydt = 0
ขั้นที่ 3 — แทนค่าที่รู้ (เพิ่งทำได้ตอนนี้)
ที่ x=6: y = √(100−36) = 8 กำหนด dx/dt = 1 ม./วินาที
2(6)(1) + 2(8) dydt = 0
ขั้นที่ 4 — แก้สมการ
dydt = −12/16 = −3/4 ม./วินาที — ปลายบนเลื่อนลงด้วยอัตรา 3/4 ม./วินาที (ติดลบ เพราะ y กำลังลดลง)
ตัวอย่าง 5.4 — ปริมาตรที่ขยายตัว
ลูกโป่งทรงกลมถูกเป่าให้รัศมีเพิ่มขึ้นด้วยอัตรา 2 ซม./วินาที ปริมาตรกำลังเพิ่มขึ้นเร็วแค่ไหนเมื่อรัศมี เท่ากับ 5 ซม. (V = (4/3)πr3)
ขั้นที่ 1 — หาอนุพันธ์ของสูตรปริมาตรเทียบกับ t
dVdt = 4πr2 drdt
ขั้นที่ 2 — แทน r=5, dr/dt=2
dVdt = 4π(25)(2) = 200π ลบ.ซม./วินาที
5.8 การประมาณเชิงเส้น
เส้นสัมผัสที่ (a, f(a)) คือเส้นตรงที่ประมาณค่า f ใกล้ a ได้ดีที่สุด สมการของมัน เมื่อมองเป็นฟังก์ชันประมาณค่า เรียกว่า การประมาณเชิงเส้น (linearization) ของ f ที่ a:
โดย f(x) ≈ L(x) เมื่อ x อยู่ใกล้ a คุณภาพของการประมาณจะแย่ลงเมื่อ x ห่างจาก a มากขึ้น
ตัวอย่าง 5.5 — การประมาณเชิงเส้นของรากที่สอง
ใช้การประมาณเชิงเส้นที่ a=25 เพื่อประมาณค่า √26.3
ขั้นที่ 1 — ตั้งค่า f, f(a), และ f'(a)
f(x) = √x, f(25)=5, f′(x) = 1/(2√x), f′(25) = 1/10
ขั้นที่ 2 — ใช้สมการ 5.1 กับ x = 26.3
L(26.3) = 5 + (1/10)(26.3−25) = 5 + 0.13
√26.3 ≈ 5.13 (ค่าจริงคือ 5.1284… การประมาณจึงแม่นยำถึงสองตำแหน่ง ทศนิยม)
5.9 ดิฟเฟอเรนเชียล
เมื่อเขียน dx แทนการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของ x ดิฟเฟอเรนเชียล dy นิยามเป็น
dy คือการเปลี่ยนแปลงของการประมาณเชิงเส้น L(x) พอดี เมื่อ x เปลี่ยนไป dx — เป็นการประมาณแบบเส้นตรงของการเปลี่ยนแปลงจริง Δy = f(x+dx)−f(x) ซึ่งแม่นยำสำหรับ dx เล็ก แต่ไม่เท่ากันเป๊ะ ดิฟเฟอเรนเชียลยังให้ความหมายที่แท้จริงกับ dy/dx ในฐานะอัตราส่วน แทนที่จะเป็นเพียงสัญกรณ์อนุพันธ์ชิ้นเดียว
ตัวอย่าง 5.6 — การประมาณความคลาดเคลื่อนด้วยดิฟเฟอเรนเชียล
ด้านของลูกบาศก์วัดได้ 10 ซม. โดยมีความคลาดเคลื่อนที่เป็นไปได้ ±0.1 ซม. จงประมาณความคลาดเคลื่อน ที่เกิดขึ้นในปริมาตรที่คำนวณได้
ขั้นที่ 1 — ตั้งค่า V และ dV
V = x3, dV = 3x2 dx
ขั้นที่ 2 — แทน x=10, dx=0.1
dV = 3(100)(0.1) = 30 ลบ.ซม. — ความคลาดเคลื่อน 0.1 ซม. ในด้าน ยาว 10 ซม. อาจทำให้ปริมาตรที่คำนวณได้ 1000 ลบ.ซม. คลาดเคลื่อนประมาณ 30 ลบ.ซม.
5.10 ตัวอย่างโจทย์สรุปรวม
ตัวอย่าง 5.7 — โจทย์อัตราสัมพัทธ์ที่ต้องใช้อนุพันธ์แบบอิมพลิซิต
ปริมาณสองตัวสอดคล้องกับ xy = 12 ทุกขณะ ที่ขณะ x=3, x กำลังเพิ่มขึ้นด้วยอัตรา 2 หน่วย/วินาที y กำลังเปลี่ยนแปลงเร็วแค่ไหน ณ ขณะนั้น
ขั้นที่ 1 — หาอนุพันธ์ของ xy = 12 เทียบกับ t โดยใช้กฎผลคูณ (§5.2, §5.5)
dxdt y + x dydt = 0
ขั้นที่ 2 — หา y ณ ขณะนั้น
ที่ x=3: y = 12/3 = 4
ขั้นที่ 3 — แทนค่าที่รู้ทั้งหมดแล้วแก้สมการ
(2)(4) + (3) dydt = 0 ⇒ dydt = −8/3
y กำลังลดลงด้วยอัตรา 8/3 หน่วย/วินาที ณ ขณะนั้น
5.11 สัญลักษณ์ที่ใช้
| สัญลักษณ์ | ความหมาย |
|---|---|
| อนุพันธ์แบบอิมพลิซิต | การหาอนุพันธ์ของสมการในรูป x และ y เทียบกับ x โดยถือว่า y เป็นฟังก์ชันของ x |
| อัตราสัมพัทธ์ | การหาอัตราการเปลี่ยนแปลงหนึ่งจากอัตราอื่น โดยใช้สมการที่เชื่อมโยงปริมาณพื้นฐานทุกขณะ |
| L(x) | การประมาณเชิงเส้นของ f ที่ a: การประมาณด้วยเส้นสัมผัสของ f ใกล้ a |
| dx, dy | ดิฟเฟอเรนเชียล: dx คือการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของ x; dy = f'(x)dx คือการเปลี่ยนแปลงของ y ที่ประมาณเชิงเส้นตามที่สอดคล้องกัน |
5.12 แบบฝึกหัด
- อนุพันธ์แบบอิมพลิซิต. จงหา dy/dx สำหรับ x2 + xy + y2 = 7
- อนุพันธ์แบบอิมพลิซิตกับตรีโกณมิติ. จงหา dy/dx สำหรับ sin(xy) = x
- เส้นสัมผัสของเส้นโค้งอิมพลิซิต. จงหาเส้นสัมผัสของ x2y + y3 = 9 ที่ (2,1)
- อัตราสัมพัทธ์ พื้นที่. รัศมีของวงกลมเพิ่มขึ้นด้วยอัตรา 3 ซม./วินาที พื้นที่กำลังเพิ่มขึ้นเร็วแค่ไหนเมื่อรัศมีเท่ากับ 4 ซม.
- อัตราสัมพัทธ์ กรวย. น้ำไหลออกจากถังทรงกรวย (ยอดชี้ลง) ด้วยอัตรา 2 ลบ.ม./นาที เมื่อความลึกของน้ำเท่ากับ 3 ม. และรัศมีผิวน้ำเท่ากับ 1.5 ม. ความลึกกำลังลดลงเร็วแค่ไหน (ตั้งความสัมพันธ์ปริมาตร-ความลึกก่อนโดยใช้สามเหลี่ยมคล้าย)
- อัตราสัมพัทธ์ ระยะทาง. รถสองคันออกจากจุดเดียวกัน คันหนึ่งมุ่งเหนือด้วยความเร็ว 40 กม./ชม. อีกคันมุ่งตะวันออกด้วยความเร็ว 30 กม./ชม. ระยะห่างระหว่างรถทั้งสองเพิ่มขึ้นเร็วแค่ไหนหลังผ่านไป 2 ชั่วโมง
- การประมาณเชิงเส้น. จงหาการประมาณเชิงเส้นของ f(x) = x1/3 ที่ a=8 แล้วใช้ประมาณค่า (8.06)1/3
- การประมาณเชิงเส้นกับตรีโกณมิติ. จงหาการประมาณเชิงเส้นของ f(x) = sin x ที่ a=0 แล้วอธิบายว่าทำไมจึงได้การประมาณมุมเล็ก sin x ≈ x ที่คุ้นเคย
- ดิฟเฟอเรนเชียล. ใช้ดิฟเฟอเรนเชียลประมาณการเปลี่ยนแปลงของ y = x2 − 3x เมื่อ x เปลี่ยนจาก 4 เป็น 4.02
- การประมาณความคลาดเคลื่อน. รัศมีของวงกลมวัดได้ 8 ซม. โดยมีความคลาดเคลื่อนที่เป็นไปได้ ±0.05 ซม. ใช้ดิฟเฟอเรนเชียลประมาณความคลาดเคลื่อนของพื้นที่ที่คำนวณได้
- โจทย์รวม. ปริมาณสองตัวสอดคล้องกับ x2+y2=xy+7 ที่ขณะ x=3, y=1 และ dx/dt=2 จงหา dy/dt ณ ขณะนั้น
5.13 เอกสารอ้างอิง
- Thomas, G. B., Weir, M. D. and Hass, J. Thomas' Calculus, SI Units, 15th ed. Pearson, 2024. — §3.7 (อนุพันธ์แบบอิมพลิซิต), §3.8 (อัตราสัมพัทธ์), §3.9 (การประมาณ เชิงเส้นและดิฟเฟอเรนเชียล)
- Pearson MyLab Math — การบ้านสัปดาห์ที่ 5 มอบหมายโดยตรงจากหัวข้อข้างต้น ดูวันกำหนดส่งได้ที่ ปฏิทินการเรียน