อนุกรมกำลังคือ "พหุนามที่มีพจน์ไม่จำกัดจำนวน" เมื่อรู้ว่าอนุกรมลู่เข้าที่ใด (หาช่วงได้ด้วยการทดสอบอัตราส่วนแบบเดียวกับสัปดาห์ที่ 15) ก็สามารถหาอนุพันธ์และหาปริพันธ์ทีละพจน์ได้ อนุกรมเทย์เลอร์ก้าวไปไกลกว่านั้น: มันสร้างอนุกรมกำลังของฟังก์ชันที่รู้จักอยู่แล้วขึ้นจากอนุพันธ์ที่ จุดเดียวเท่านั้น — เปลี่ยนฟังก์ชันอดิศัยให้กลายเป็นพหุนามที่คำนวณและตัดทอนได้
16.1 อนุกรมกำลัง
อนุกรมกำลังที่มีศูนย์กลางที่ x=a คืออนุกรมในรูป
โดย cn เป็นค่าคงที่ สำหรับแต่ละค่า x ที่กำหนดไว้ นี่คือ อนุกรมตัวเลขธรรมดา — แบบเดียวกับที่การทดสอบต่าง ๆ ในสัปดาห์ที่ 15 ใช้ได้โดยตรง อนุกรมกำลังจึง ไม่ได้ลู่เข้าหรือลู่ออกแบบเบ็ดเสร็จ แต่ลู่เข้าสำหรับค่า x บางค่า และลู่ออกสำหรับ ค่าอื่น การหาว่า x ใดที่ลู่เข้าคือภารกิจแรก
16.2 รัศมีและช่วงการลู่เข้า
อนุกรมกำลังทุกตัวมี รัศมีการลู่เข้า R (อาจเป็น 0 หรือ ∞) โดยอนุกรมลู่เข้า สัมบูรณ์เมื่อ |x−a| < R และลู่ออกเมื่อ |x−a| > R วิธีมาตรฐานในการหา R คือการทดสอบ อัตราส่วนจากสัปดาห์ที่ 15 (§15.6) ใช้กับพจน์ cn(x−a)n ช่วงการลู่เข้า คือช่วงนี้รวมกับจุดปลาย (ถ้ามี) ที่ลู่เข้าด้วย — ต้องตรวจสอบจุดปลาย แยกกันทีละจุด โดยใช้การทดสอบใดก็ได้จากสัปดาห์ที่ 15 เพราะการทดสอบอัตราส่วนเองจะเงียบพอดีที่ ρ=1
รูปแบบที่เป็นไปได้สามแบบ. ช่วงการลู่เข้าจะเป็นแบบใดแบบหนึ่งเสมอ: จุดเดียว x=a (R=0) เส้นจำนวนจริงทั้งหมด (R=∞) หรือช่วงจำกัดที่มีศูนย์กลางที่ a รัศมี R ซึ่งอาจเปิด ครึ่งเปิด หรือปิด ขึ้นอยู่กับผลตรวจสอบจุดปลาย
16.3 การหาอนุพันธ์และปริพันธ์ทีละพจน์
ภายในช่วงการลู่เข้า อนุกรมกำลังมีพฤติกรรมเหมือนพหุนามสำหรับวัตถุประสงค์ทางแคลคูลัส: สามารถหา อนุพันธ์หรือปริพันธ์ทีละพจน์ได้ (นำกฎจากสัปดาห์ที่ 4 และสัปดาห์ที่ 9 มาใช้กับแต่ละพจน์) และอนุกรม ที่ได้จะมีรัศมีการลู่เข้า R เดิม (แม้พฤติกรรมที่จุดปลายอาจเปลี่ยนไป) นี่คือสิ่งที่ทำให้ อนุกรมกำลังใช้งานได้จริงในฐานะฟังก์ชัน ไม่ใช่เพียงผลรวมเชิงรูปแบบ
16.4 อนุกรมเทย์เลอร์และแมกคลอริน
ถ้า f มีอนุพันธ์ทุกอันดับที่ x=a อนุกรมเทย์เลอร์ ที่สร้าง ที่ a คือ
สัมประสิทธิ์แต่ละตัวมาจากอนุพันธ์ธรรมดาที่ประเมินค่าที่จุดเดียว a โดยตรง (กฎการหา อนุพันธ์จากสัปดาห์ที่ 4) อนุกรมแมกคลอริน คือกรณีพิเศษที่ a=0 พหุนามเทย์เลอร์ อันดับที่ n คือ Pn(x) ผลรวมย่อยถึงพจน์ที่ n — พหุนามจริง (จำกัด) ที่ประมาณค่า f ใกล้ a และแม่นยำขึ้น เมื่อ n เพิ่มขึ้น
16.5 อนุกรมแมกคลอรินที่พบบ่อย
อนุกรมสี่ตัวนี้ อนุมานได้โดยตรงจากสมการ 16.2 ผ่านการหาอนุพันธ์ซ้ำ ๆ และควรจดจำไว้:
สมการ 16.3d ก็คืออนุกรมเรขาคณิตจากสัปดาห์ที่ 14 (§14.6) ที่อ่านเป็นอนุกรมกำลังในตัวแปร x รัศมีการลู่เข้าของมัน R=1 รู้อยู่แล้วจากหัวข้อนั้นโดยไม่ต้องใช้การทดสอบ อัตราส่วนเลย
16.6 การลู่เข้าของอนุกรมเทย์เลอร์และเศษเหลือ
อนุกรมเทย์เลอร์ที่สร้างโดย f ไม่ได้รับประกันว่าจะลู่เข้าสู่ f(x) เสมอไป — อาจลู่เข้าสู่ค่าอื่น หรือลู่ออก นอกช่วงหนึ่ง เขียน f(x) = Pn(x) + Rn(x) อนุกรมจะลู่เข้าสู่ f(x) ที่ x ค่าหนึ่งก็ต่อเมื่อเศษเหลือ Rn(x) → 0 เมื่อ n → ∞ ภายในวงกลมการลู่เข้า อนุกรมทั้งสี่ใน §16.5 ลู่เข้าสู่ฟังก์ชัน ที่ระบุไว้จริง — นี่คือเหตุผลที่นำไปใช้หาค่าที่แน่นอนได้ ไม่ใช่เพียงการประมาณ
16.7 การประมาณค่าปริพันธ์ที่ไม่ใช่ปฐมฐานด้วยอนุกรม
สัปดาห์ที่ 13 (§13.4–13.7) สร้างชุดเทคนิคการหาปริพันธ์ไว้ แต่ฟังก์ชันปฐมฐานบางตัว — เช่น e−x2, sin(x2) หรือ (sin x)/x — ไม่มีปฏิยานุพันธ์ที่เขียนในรูปปฐมฐานได้เลย ไม่มีเทคนิคใดจากสัปดาห์ที่ 13 ที่ปิดปริพันธ์เหล่านี้ในรูปจำกัดได้ อย่างไรก็ตาม การแทนอนุกรม แมกคลอริน (§16.5) ลงในตัวถูกอินทิเกรตแล้วหาปริพันธ์ของอนุกรมกำลังที่ได้ทีละพจน์ (§16.3) ได้ผลเสมอ: แต่ละพจน์เป็นกำลังปฐมฐานของ x และผลลัพธ์คืออนุกรมที่ลู่เข้าซึ่งแทนค่าที่แน่นอน ของปริพันธ์จำกัดเขต คำนวณได้ถึงความละเอียดใดก็ได้ด้วยการตัดทอน
16.8 ตัวอย่างโจทย์
ตัวอย่าง 16.1 — รัศมีและช่วงการลู่เข้า
จงหารัศมีและช่วงการลู่เข้าของ ∑n=1∞ (x−2)n/(n·3n)
ขั้นที่ 1 — ใช้การทดสอบอัตราส่วน (สัปดาห์ที่ 15, §15.6) กับพจน์ทั่วไป
limn→∞ |x−2|n+1/((n+1)3n+1)|x−2|n/(n·3n) = limn→∞ n|x−2|3(n+1) = |x−2|3
ขั้นที่ 2 — กำหนดให้ ρ < 1
|x−2|/3 < 1 ⇔ |x−2| < 3 ดังนั้น R=3 และอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์สำหรับ x ∈ (−1, 5)
ขั้นที่ 3 — ตรวจสอบจุดปลายทั้งสองแยกกัน
ที่ x=−1: อนุกรมกลายเป็น ∑(−1)ⁿ/n อนุกรมฮาร์มอนิกสลับ ซึ่งลู่เข้า (สัปดาห์ที่ 15, §15.8) ที่ x=5: อนุกรมกลายเป็น ∑1/n อนุกรมฮาร์มอนิก ซึ่ง ลู่ออก (สัปดาห์ที่ 15, §15.2)
ขั้นที่ 4 — สรุป
รัศมีการลู่เข้า R=3 ช่วงการลู่เข้าคือ [−1, 5)
ตัวอย่าง 16.2 — การสร้างอนุกรมแมกคลอรินจากอนุพันธ์
จงหาอนุกรมแมกคลอรินของ f(x) = ln(1+x)
ขั้นที่ 1 — มอง f′(x) เป็นอนุกรมเรขาคณิต
f′(x) = 1/(1+x) = 1/(1−(−x)) = ∑n=0∞ (−x)n, สำหรับ |x|<1 (สมการ 16.3d แทน x ด้วย −x)
ขั้นที่ 2 — หาปริพันธ์ทีละพจน์ (§16.3)
ln(1+x) = ∫0x f′(t) dt = ∑n=0∞ (−1)n xn+1n+1
ขั้นที่ 3 — สรุปผลลัพธ์
ln(1+x) = x − x2/2 + x3/3 − x4/4 + … ใช้ได้สำหรับ −1 < x ≤ 1 (ได้มาโดยไม่ต้องคำนวณอนุพันธ์อันดับสูงเลยสักตัว)
ตัวอย่าง 16.3 — ปริพันธ์ที่ไม่ใช่ปฐมฐานด้วยอนุกรม (§16.7)
จงประมาณค่า ∫01 e−x2 dx ให้ถูกต้องถึงสามตำแหน่ง ทศนิยม ไม่มีปฏิยานุพันธ์แบบปฐมฐานสำหรับตัวถูกอินทิเกรตนี้ จึงไม่มีเทคนิคใดจากสัปดาห์ที่ 13 ที่ใช้ ได้โดยตรง
ขั้นที่ 1 — แทนค่าลงในอนุกรมแมกคลอรินของ e^x (สมการ 16.3a)
e−x2 = ∑n=0∞ (−x2)nn! = 1 − x2 + x42! − x63! + …
ขั้นที่ 2 — หาปริพันธ์ทีละพจน์จาก 0 ถึง 1
∫01 e−x2 dx = 1 − 1/3 + 1/(2!·5) − 1/(3!·7) + 1/(4!·9) − … = 1 − 0.3333 + 0.1000 − 0.0238 + 0.0044 − …
ขั้นที่ 3 — ใช้การประมาณค่าความผิดพลาดของอนุกรมสลับ (สัปดาห์ที่ 15, §15.8)
สำหรับอนุกรมสลับที่ผ่านการทดสอบอนุกรมสลับ ความผิดพลาดจากการตัดทอนถูกจำกัดด้วยพจน์แรกที่ถูกตัด ออกไป การหยุดหลังพจน์ 1/(4!·9) (≈0.0044) ทำให้ความผิดพลาดต่ำกว่าพจน์ถัดไป ≈0.0007 ซึ่งเพียงพอสำหรับความแม่นยำสามตำแหน่งทศนิยม
ขั้นที่ 4 — รวมผล
∫₀¹ e^(−x²) dx ≈ 0.747 ถูกต้องถึงสามตำแหน่ง ทศนิยม — ได้มาโดยไม่มีปฏิยานุพันธ์เลย ใช้เพียงการหาปริพันธ์ของอนุกรมทีละพจน์
16.9 สัญลักษณ์ที่ใช้
| สัญลักษณ์ / คำศัพท์ | ความหมาย |
|---|---|
| อนุกรมกำลัง | ∑c_n(x−a)^n |
| รัศมีการลู่เข้า R | ครึ่งหนึ่งของความกว้างของช่วงที่อนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์ |
| ช่วงการลู่เข้า | ช่วงรัศมีบวกกับจุดปลายที่ลู่เข้า (ถ้ามี) |
| อนุกรมเทย์เลอร์ | ∑[f^(n)(a)/n!](x−a)^n |
| อนุกรมแมกคลอริน | อนุกรมเทย์เลอร์ที่ a=0 |
| P_n(x) | พหุนามเทย์เลอร์อันดับที่ n (ผลรวมย่อยของอนุกรมเทย์เลอร์) |
| R_n(x) | เศษเหลือ f(x) − P_n(x) |
16.10 แบบฝึกหัด
- รัศมีการลู่เข้า. จงหารัศมีและช่วงการลู่เข้าของ ∑x^n/n²
- รัศมีการลู่เข้า. จงหารัศมีและช่วงการลู่เข้าของ ∑n!x^n
- การตรวจสอบจุดปลาย. จงหาช่วงการลู่เข้าของ ∑(x+1)^n/√n โดยตรวจสอบจุดปลายทั้งสอง
- แมกคลอรินจากสมการ 16.3a. ใช้สมการ 16.3a เขียนอนุกรมแมกคลอรินของ e^(2x)
- แมกคลอรินจากสมการ 16.3b. ใช้สมการ 16.3b เขียนอนุกรมแมกคลอรินของ sin(x²)
- การสร้างจากอนุพันธ์. จงหาพจน์สี่พจน์แรกที่ไม่เป็นศูนย์ของอนุกรมเทย์เลอร์ของ cos x ที่ศูนย์กลาง a=π
- อนุกรมเรขาคณิตในฐานะอนุกรมกำลัง. ใช้สมการ 16.3d หาอนุกรมกำลังของ 1/(1+x²) และบอกรัศมีการลู่เข้า
- การหาปริพันธ์ทีละพจน์. หาปริพันธ์คำตอบของข้อ 7 เพื่อหาอนุกรมกำลังของ arctan x
- ปริพันธ์ที่ไม่ใช่ปฐมฐาน. ใช้อนุกรมแมกคลอรินประมาณค่า ∫₀¹ sin(x²) dx ให้ถูกต้องถึงสามตำแหน่งทศนิยม
- ปริพันธ์ที่ไม่ใช่ปฐมฐาน. ใช้อนุกรมแมกคลอรินประมาณค่า ∫₀·¹ (sin x)/x dx ให้ถูกต้องถึงสามตำแหน่งทศนิยม (สังเกตพฤติกรรมที่แก้ไขได้ของตัวถูกอินทิเกรตที่ x=0)
16.11 เอกสารอ้างอิง
- Thomas, G. B., Weir, M. D. and Hass, J. Thomas' Calculus, SI Units, 15th ed. Pearson, 2024. §9.7 (อนุกรมกำลัง), §9.8 (อนุกรมเทย์เลอร์และแมกคลอริน), §9.9 (การลู่เข้าของ อนุกรมเทย์เลอร์), §9.10 (การประยุกต์ใช้อนุกรมเทย์เลอร์ — เฉพาะการประมาณค่าปริพันธ์ที่ ไม่ใช่ปฐมฐาน ตามตารางเรียนของภาคการศึกษานี้)
- Pearson MyLab Math — การบ้านสัปดาห์ที่ 16 มอบหมายโดยตรงจากหัวข้อข้างต้น ดูวันกำหนดส่งได้ที่ ปฏิทินการเรียน