สัปดาห์ที่ 3: ลิมิตด้านเดียว ความต่อเนื่อง และลิมิตที่อนันต์

สัปดาห์ที่ 2 นิยามลิมิตและให้เครื่องมือคำนวณ สัปดาห์นี้ปิดช่องว่างสองเรื่องที่ค้างไว้: ต้องทำอย่างไรเมื่อฟังก์ชันมีพฤติกรรมต่างกันในแต่ละด้านของจุดหนึ่ง และต้องทำอย่างไรเมื่อฟังก์ชันหรือ อินพุตของมันเพิ่มขึ้นโดยไม่มีขอบเขต

3.1 ลิมิตด้านเดียว

ลิมิตด้านขวา ของ f ที่ a พิจารณาเฉพาะค่า x ที่มากกว่า a:

lim_x→a⁺ f(x) = L (3.1)

หมายความว่า f(x) เข้าใกล้ L เมื่อ x เข้าใกล้ a ผ่านค่า x > a เท่านั้น ลิมิตด้านซ้าย นิยามในทำนองเดียวกันแต่จำกัดที่ x < a:

lim_x→a⁻ f(x) = L (3.2)

กฎของลิมิตทั้งหมดจากสัปดาห์ที่ 2 §2.6 ใช้ได้กับลิมิตด้านเดียวเช่นกัน — ไม่มีข้อไหนของกฎ ผลบวก ผลคูณ หรือผลหารของลิมิตที่ขึ้นอยู่กับการเข้าใกล้จากทั้งสองด้าน

3.2 ลิมิตสองด้านในฐานะข้อตกลงของทั้งสองด้าน

lim_x→a f(x) = L ก็ต่อเมื่อ lim_x→a⁻ f(x) = L = lim_x→a⁺ f(x) (3.3)

ในที่สุดก็ทำให้ความล้มเหลวแบบ “เข้าใกล้ค่าต่างกันจากแต่ละด้าน” ที่กล่าวถึงในสัปดาห์ที่ 2 §2.5 แม่นยำขึ้น สำหรับ f(x) = x/|x|:

ตัวอย่าง 3.1 — ยืนยันว่าลิมิตไม่มีอยู่จริงอย่างเป็นทางการ

จงแสดงว่า lim_x→0 x/|x| ไม่มีอยู่จริง

ขั้นที่ 1 — ลิมิตด้านขวา

เมื่อ x > 0, |x| = x ดังนั้น f(x) = x/x = 1 lim_x→0⁺ f(x) = 1

ขั้นที่ 2 — ลิมิตด้านซ้าย

เมื่อ x < 0, |x| = −x ดังนั้น f(x) = x/(−x) = −1 lim_x→0⁻ f(x) = −1

ขั้นที่ 3 — เปรียบเทียบ

1 ≠ −1 ดังนั้นตามสมการ 3.3 ลิมิตสองด้านจึงไม่มีอยู่จริง (DNE)

3.3 ความต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง

f ต่อเนื่อง ที่ x = a เมื่อสามเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริงทั้งหมด:

#	เงื่อนไข	สิ่งที่ตัดออก
1	`f`(`a`) นิยาม	รูโหว่ที่ไม่มีจุดพล็อตอยู่เลย
2	lim_x→a `f`(`x`) มีอยู่จริง	รอยกระโดดระหว่างค่าด้านเดียวสองค่าที่ต่างกัน
3	lim_x→a `f`(`x`) = `f`(`a`)	รูโหว่ที่มีจุดพล็อตอยู่ที่อื่นแทน

ต้องเป็นจริงทั้งสามข้อ แต่ละข้อตัดวิธีที่กราฟจะขาดที่ a ออกไปคนละแบบ นี่คือเหตุผลที่ ตัวอย่าง 1.2 ในสัปดาห์ที่ 1 (ฟังก์ชันเป็นช่วงที่ต่อกันสนิทที่ x=1) ดูไม่ขาดตอน: ทั้งสาม เงื่อนไขเป็นจริงพอดีที่จุดนั้น

3.4 ความต่อเนื่องบนช่วง

f ต่อเนื่องบนช่วงเปิดถ้าต่อเนื่องทุกจุดในช่วงนั้น บนช่วงปิด [a,b] จุดปลายต้องการเพียงความต่อเนื่องด้านเดียว: ต่อเนื่องทางขวาที่ a ต่อเนื่องทางซ้ายที่ b ฟังก์ชันที่ต่อเนื่องทุกจุดในโดเมนของมัน (จริงสำหรับพหุนามทุกตัว ฟังก์ชันตรรกยะนอกจุดที่ ตัวส่วนเป็นศูนย์ และฟังก์ชันตรีโกณมิติทุกตัวในโดเมนของมัน) ไม่ต้องตรวจสอบทีละกรณี — การแทนค่าโดยตรง (สัปดาห์ที่ 2 §2.7) บอกไว้แล้ว

3.5 ชนิดของความไม่ต่อเนื่อง

ชนิด	สิ่งที่ล้มเหลว	แก้ไขได้หรือไม่
ถอดได้ (Removable)	ลิมิตมีอยู่จริงแต่ `f`(`a`) ไม่นิยามหรือไม่ตรงกับลิมิต (เงื่อนไข 1 หรือ 3)	ได้ — นิยาม `f`(`a`) ใหม่ให้เท่ากับลิมิต
กระโดด (Jump)	ลิมิตด้านเดียวทั้งสองมีอยู่จริงแต่ไม่ตรงกัน (สมการ 3.3 ล้มเหลว)	ไม่ได้
อนันต์ (Infinite)	ลิมิตด้านเดียวหนึ่งหรือทั้งสองเป็น ±∞ (§3.7)	ไม่ได้
แกว่ง (Oscillating)	ฟังก์ชันแกว่งไม่มีที่สิ้นสุดใกล้ `a` จึงไม่มีลิมิตด้านเดียวเลย	ไม่ได้

ตัวอย่าง 3.2 — ระบุและซ่อมความไม่ต่อเนื่อง

ให้ g(x) = (x²−9)/(x−3) เมื่อ x ≠ 3 และไม่นิยามที่ x = 3 จงจำแนกความไม่ต่อเนื่องที่ x = 3 แล้วซ่อมถ้าทำได้

ขั้นที่ 1 — ตรวจสอบว่าเงื่อนไขใดล้มเหลว

g(3) ไม่นิยาม เงื่อนไข 1 จึงล้มเหลวทันที

ขั้นที่ 2 — ตรวจสอบว่าลิมิตยังมีอยู่จริงหรือไม่ (สัปดาห์ที่ 2 ตัวอย่าง 2.3)

lim_x→3 g(x) = 6 (แยกตัว ประกอบและตัด เหมือนเดิม)

ขั้นที่ 3 — จำแนกและซ่อม

ลิมิตมีอยู่จริงแต่ g(3) ไม่มี: เป็นความไม่ต่อเนื่องแบบถอดได้ นิยาม G(x) = g(x) เมื่อ x ≠ 3 และ G(3) = 6 ทำให้ G ต่อเนื่องทุกจุดแล้ว

3.6 ทฤษฎีบทค่ากลาง

ถ้า f ต่อเนื่องบน [a,b] และ N เป็นตัวเลขใด ๆ ระหว่าง f(a) กับ f(b) แล้ว f(c) = N สำหรับ c ค่าใดค่าหนึ่งใน [a,b]

ทำไมความต่อเนื่องจึงจำเป็น

ทฤษฎีบทนี้คือรูปแบบที่แม่นยำของ “เส้นโค้งต่อเนื่องกระโดดข้ามค่าใด ๆ ไม่ได้โดยไม่ผ่านมันก่อน” มันล้มเหลวทันทีสำหรับฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่อง: ความไม่ต่อเนื่องแบบกระโดดสามารถข้ามช่วงค่า N ทั้งหมดได้โดยไม่เท่ากับค่าใดในนั้นเลย

ตัวอย่าง 3.3 — การระบุตำแหน่งราก

จงแสดงว่า f(x) = x³ − x − 1 มีรากอยู่ระหว่าง x = 1 กับ x = 2

ขั้นที่ 1 — ยืนยันความต่อเนื่อง

f เป็นพหุนาม ต่อเนื่องทุกจุด จึงต่อเนื่องบน [1,2]

ขั้นที่ 2 — หาค่าที่จุดปลาย

f(1) = 1 − 1 − 1 = −1; f(2) = 8 − 2 − 1 = 5

ขั้นที่ 3 — ใช้ทฤษฎีบทค่ากลางกับ N = 0

0 อยู่ระหว่าง −1 กับ 5 ดังนั้นโดยทฤษฎีบทค่ากลาง มี c ∈ (1,2) ที่ทำให้ f(c) = 0

f มีรากอยู่ใน (1, 2) (ทฤษฎีบทค่ากลางรับประกันการมีอยู่ ไม่ใช่ค่าที่แน่นอน)

3.7 ลิมิตที่อนันต์และเส้นกำกับแนวดิ่ง

เมื่อ f(x) เพิ่มขึ้นโดยไม่มีขอบเขตขณะ x → a เราเขียนว่า

lim_x→a f(x) = ∞ (3.4)

— เป็นข้อความที่อธิบายพฤติกรรม ไม่ใช่การอ้างว่าลิมิตมีอยู่จริงในฐานะตัวเลข ถ้า lim_x→a⁻ f(x) หรือ lim_x→a⁺ f(x) เป็น ±∞ เส้นตรง x = a คือ เส้นกำกับแนวดิ่งของกราฟ สำหรับฟังก์ชันตรรกยะในรูปอย่างต่ำ เส้นกำกับแนวดิ่งเกิดขึ้นที่จุดที่ตัวส่วนเป็นศูนย์พอดี (และตัวเศษ ไม่เป็นศูนย์ด้วย — กรณีนั้นจะให้ความไม่ต่อเนื่องแบบถอดได้แทน ตาม §3.5)

ตัวอย่าง 3.4 — ลิมิตที่อนันต์

จงอธิบายพฤติกรรมของ f(x) = 1/(x−2)² เมื่อ x → 2

ขั้นที่ 1 — พิจารณาตัวส่วนใกล้ x = 2

(x−2)² → 0⁺ จากทั้งสองด้าน (กำลังสองไม่เป็นลบ) ดังนั้น 1/(x−2)² จึงเพิ่มขึ้นไม่มีขอบเขตจากทั้งสองด้าน

ขั้นที่ 2 — สรุปผลลิมิตด้านเดียวและสองด้าน

lim_x→2⁻ f(x) = lim_x→2⁺ f(x) = ∞ ดังนั้น lim_x→2 f(x) = ∞ และ x = 2 เป็นเส้นกำกับแนวดิ่ง

3.8 ลิมิตที่อนันต์ (x→∞) และเส้นกำกับแนวนอน

คำถามในทิศตรงข้ามถามว่าเกิดอะไรขึ้นกับ f(x) เมื่อ x เองเพิ่มขึ้น โดยไม่มีขอบเขต:

lim_x→∞ f(x) = L (3.5a)

lim_x→−∞ f(x) = L (3.5b)

ถ้าข้อใดข้อหนึ่งเป็นจริง เส้นตรง y = L คือ เส้นกำกับแนวนอน ลิมิตพื้นฐาน ที่สำคัญ ซึ่งพิสูจน์ได้จากบทนิยามที่แม่นยำคือ:

lim_x→±∞ 1xⁿ = 0 สำหรับ n > 0 ใด ๆ (3.6)

ซึ่งพูดง่าย ๆ ว่า 1 หารด้วยตัวเลขที่ใหญ่ขึ้นเรื่อย ๆ จะหดเข้าใกล้ 0

3.9 พฤติกรรมปลายของฟังก์ชันตรรกยะ

ในการหาลิมิตที่อนันต์ของฟังก์ชันตรรกยะ ให้หารตัวเศษและตัวส่วนด้วยกำลังสูงสุดของ x ที่ ปรากฏในตัวส่วน แล้วใช้สมการ 3.6 ทีละพจน์

ตัวอย่าง 3.5 — ลิมิตที่อนันต์ของฟังก์ชันตรรกยะ

จงหาค่า lim_x→∞ 3x² − x5x² + 2

ขั้นที่ 1 — หารทุกพจน์ด้วย x² ซึ่งเป็นกำลังสูงสุดในตัวส่วน

3 − 1/x5 + 2/x²

ขั้นที่ 2 — ใช้สมการ 3.6 กับแต่ละพจน์ที่มี x

เมื่อ x → ∞, 1/x → 0 และ 2/x² → 0

3 − 05 + 0 = 3/5 ดังนั้น y = 3/5 เป็นเส้นกำกับแนวนอน

ทางลัดสำหรับฟังก์ชันตรรกยะ

การเปรียบเทียบดีกรีของตัวเศษกับตัวส่วนทำนายคำตอบได้โดยไม่ต้องหาร: ถ้าดีกรีเท่ากัน ลิมิตคืออัตราส่วน ของสัมประสิทธิ์นำหน้า (เหมือนด้านบน 3/5); ถ้าดีกรีตัวเศษน้อยกว่า ลิมิตคือ 0; ถ้ามากกว่า ฟังก์ชันจะ เพิ่มขึ้นไม่มีขอบเขตและไม่มีเส้นกำกับแนวนอน (แม้อาจมีเส้นกำกับเฉียง ซึ่งอยู่นอกขอบเขตวิชานี้)

3.10 ตัวอย่างโจทย์สรุปรวม

ตัวอย่าง 3.6 — วิเคราะห์เส้นกำกับและความต่อเนื่องแบบเต็มรูปแบบ

สำหรับ f(x) = 2xx − 1 จงหาเส้นกำกับแนวดิ่งและแนวนอนทั้งหมด และบอกว่า f ต่อเนื่องที่ใดบ้าง

ขั้นที่ 1 — เส้นกำกับแนวดิ่ง (§3.7)

ตัวส่วนเป็นศูนย์ที่ x = 1 และตัวเศษไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น x = 1 เป็น เส้นกำกับแนวดิ่ง เมื่อ x → 1⁺, x−1 → 0⁺ ดังนั้น f(x) → +∞; เมื่อ x → 1⁻, f(x) → −∞

ขั้นที่ 2 — เส้นกำกับแนวนอน (§3.8–3.9)

ตัวเศษและตัวส่วนมีดีกรี 1 เท่ากัน ลิมิตที่ ±∞ จึงเป็นอัตราส่วนของสัมประสิทธิ์นำหน้า: 2/1 = 2

เส้นกำกับแนวดิ่ง: x = 1 เส้นกำกับแนวนอน: y = 2

ขั้นที่ 3 — ความต่อเนื่อง (§3.3–3.4)

f เป็นฟังก์ชันตรรกยะ ต่อเนื่องทุกจุดในโดเมนของมัน ซึ่งคือจำนวนจริงทุก ตัวยกเว้น x = 1

3.11 สัญลักษณ์ที่ใช้

สัญลักษณ์	ความหมาย
`a`⁺, `a`⁻	เข้าใกล้ `a` จากด้านขวา/ด้านซ้าย
IVT	ทฤษฎีบทค่ากลาง (Intermediate Value Theorem)
∞, −∞	สัญลักษณ์อธิบายการเพิ่มขึ้นไม่มีขอบเขต ไม่ใช่ตัวเลข
เส้นกำกับแนวดิ่ง	เส้นตรง `x` = `a` ที่ `f` เข้าใกล้อย่างไม่มีขอบเขตเมื่อลิมิตด้านเดียวหนึ่งหรือทั้งสองเป็น ±∞
เส้นกำกับแนวนอน	เส้นตรง `y` = `L` ที่ `f`(`x`) เข้าใกล้เมื่อ `x` → ±∞

3.12 แบบฝึกหัด

ลิมิตด้านเดียว. สำหรับ f(x) = ⌊x⌋ (ฟังก์ชันพื้น/จำนวนเต็มมากที่สุด) จงหา lim_x→2⁻ f(x) และ lim_x→2⁺ f(x) ลิมิตสองด้านมีอยู่จริงหรือไม่
ตรวจสอบความต่อเนื่อง. ให้ g(x) = x² เมื่อ x ≤ 1 และ g(x) = 2x เมื่อ x > 1 g ต่อเนื่องที่ x = 1 หรือไม่ จงอธิบายโดยใช้เงื่อนไขทั้งสามจาก §3.3
จำแนกความไม่ต่อเนื่อง. สำหรับ h(x) = 1/(x−4) จงจำแนกความไม่ต่อเนื่องที่ x = 4
ความไม่ต่อเนื่องแบบถอดได้. ให้ k(x) = (x²−1)/(x−1) เมื่อ x ≠ 1 ควรกำหนดค่า k(1) เท่าใดเพื่อให้ k ต่อเนื่องที่นั่น
การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทค่ากลาง. จงแสดงว่า cos x = x มีคำตอบใน (0, π/2)
ทฤษฎีบทค่ากลาง ทำไมความต่อเนื่องจึงสำคัญ. จงยกตัวอย่างฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องบน [0,1] ที่ f(0) = −1 และ f(1) = 1 แต่ไม่เคยเท่ากับ 0 เลย และอธิบายว่าทำไมกรณีนี้ จึงไม่ขัดแย้งกับทฤษฎีบทค่ากลาง
เส้นกำกับแนวดิ่ง. จงหาเส้นกำกับแนวดิ่งทั้งหมดของ f(x) = (x+1)/(x²−4) และบอกเครื่องหมายของ f แต่ละด้านของ เส้นกำกับแต่ละเส้น
เส้นกำกับแนวนอน ดีกรีเท่ากัน. จงหา lim_x→∞ (4x³−1)/(2x³+x)
เส้นกำกับแนวนอน ตัวเศษดีกรีน้อยกว่า. จงหา lim_x→−∞ (5x+1)/(x²−3)
ไม่มีเส้นกำกับแนวนอน. จงอธิบายว่าทำไม f(x) = (x²+1)/(x+1) จึงไม่มีเส้นกำกับแนวนอน โดยใช้ทางลัดเปรียบเทียบดีกรีจาก §3.9
โจทย์รวม. สำหรับ f(x) = (3x−6)/(x²−4) จงพิจารณาว่า x = 2 ให้เส้นกำกับแนวดิ่งหรือความไม่ต่อเนื่องแบบถอดได้ แล้วหาเส้นกำกับ แนวนอน

3.13 เอกสารอ้างอิง

Thomas, G. B., Weir, M. D. and Hass, J. Thomas' Calculus, SI Units, 15th ed. Pearson, 2024. — §2.4 (ลิมิตด้านเดียว), §2.5 (ความต่อเนื่อง), §2.6 (ลิมิตที่เกี่ยวกับ อนันต์ เส้นกำกับของกราฟ)
Pearson MyLab Math — การบ้านสัปดาห์ที่ 3 มอบหมายโดยตรงจากหัวข้อข้างต้น ดูวันกำหนดส่งได้ที่ ปฏิทินการเรียน

← สัปดาห์ที่ 2: อัตราการเปลี่ยนแปลงและลิมิต แบบทดสอบทบทวนสัปดาห์ที่ 3 →