สัปดาห์ที่ 11: งาน ฟังก์ชันผกผัน และฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

หัวข้อ 6.5 ปิดสายการประยุกต์ใช้ปริพันธ์จากสัปดาห์ที่ 9-10 ด้วยงานและแรงของไหล หัวข้อ 7.1-7.3 จากนั้นเปิดสายใหม่: ฟังก์ชันที่นิยามโดยการผกผันฟังก์ชันอื่น ซึ่งเป็นวิธีที่ลอการิทึม ธรรมชาติและฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลได้บทนิยามที่เข้มงวดในวิชานี้พอดี

11.1 งานที่เกิดจากแรงที่ผันแปร

สำหรับแรงคงที่ F ที่เคลื่อนวัตถุเป็นระยะทาง d งานคือ W=Fd อย่างง่าย เมื่อแรง F(x) ผันแปรตามตำแหน่ง กลยุทธ์ “ประมาณด้วยชิ้นบาง แล้วหาปริพันธ์” เดียวกันจากสัปดาห์ที่ 7 และ 10 ใช้ได้: บนการกระจัดสั้น ๆ dx แรงเกือบ คงที่ ให้งาน F(x)dx การรวมและหาลิมิต:

W = ∫_a^b F(x) dx (11.1)

ตัวอย่าง 11.1 — งานในการยืดสปริง

ตามกฎของฮุก แรงที่ต้องใช้ยืดสปริงเกินความยาวธรรมชาติไป x เมตร คือ F(x)=kx ถ้า k=200 N/m จงหางานในการยืดจาก 0 ถึง 0.5 ม.

ขั้นที่ 1 — ใช้สมการ 11.1

W = ∫₀^0.5 200x dx

ขั้นที่ 2 — ประเมินค่า

200[x²/2]₀^0.5 = 100(0.25)

W = 25 J

11.2 งานที่ต้านแรงโน้มถ่วง (การสูบและยก)

ในการสูบของเหลวออกจากถัง ให้หั่นของเหลวเป็นชั้นแนวนอนบาง ๆ แต่ละชั้นที่ความลึก x มีน้ำหนัก (ความหนาแน่น × แรงโน้มถ่วง × พื้นที่หน้าตัด × dx) และต้องยกเป็นระยะทาง ที่ขึ้นกับ x งานรวมคือปริพันธ์ของ (น้ำหนักของชั้น) × (ระยะทางที่ยก) ตลอดความลึกของถัง

ตัวอย่าง 11.2 — การสูบน้ำออกจากถัง

ถังทรงกระบอกรัศมี 2 ม. สูง 5 ม. เต็มไปด้วยน้ำ (ความหนาแน่น 1000 กก./ลบ.ม., g=9.8 ม./วินาที²) ถูกสูบออกทางด้านบน จงหางานที่ทำ

ขั้นที่ 1 — ตั้งชั้นที่ความลึก x จากด้านบน

ชั้นที่ความลึก x (0≤x≤5) มีปริมาตร π(2)²dx = 4π dx น้ำหนัก 1000(9.8)(4π)dx และต้องยกเป็นระยะทาง x เพื่อไปถึงด้านบน

ขั้นที่ 2 — หาปริพันธ์ของน้ำหนัก × ระยะทาง

W = ∫₀⁵ 39200π x dx = 39200π[x²/2]₀⁵

W = 39200π(12.5) = 490000π J ≈ 1.54×10⁶ J

11.3 แรงของไหล

แรงที่ของไหลกระทำต่อพื้นผิวแนวดิ่งที่จมอยู่ ใช้แนวคิดการหั่นเดียวกัน: ที่ความลึก x ความดันคือ (ความหนาแน่น)(g)(x) และแรงบนแถบแนวนอนบาง ๆ ความกว้าง L(x) และความหนา dx คือความดัน × พื้นที่:

F = ∫_a^b (ความหนาแน่น)(g)(x) L(x) dx (11.2)

— รูปแบบ “หั่น คูณ หาปริพันธ์” เดียวกับงาน แต่ใช้กับแรงแทน

11.4 ฟังก์ชันผกผันและการทดสอบเส้นตรงในแนวนอน

ฟังก์ชัน f มี ฟังก์ชันผกผัน f⁻¹ ก็ต่อเมื่อ f เป็น ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง: ไม่มีอินพุตสองตัวที่ต่างกันให้ผลลัพธ์เดียวกัน ในเชิงกราฟ นี่คือ การทดสอบเส้นตรงในแนวนอน — ภาพสะท้อนของการทดสอบเส้นตรงในแนวดิ่งจาก สัปดาห์ที่ 1 §1.2 ฟังก์ชันผกผันยกเลิก f:

f⁻¹(f(x)) = x และ f(f⁻¹(x)) = x (11.3)

และกราฟของมันคือภาพสะท้อนของกราฟ f ข้ามเส้นตรง y=x — การสลับบทบาทของ x กับ y คือความหมายของ “ผกผัน” พอดี

ฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันเพิ่มตลอดโดเมน (หรือฟังก์ชันลดตลอด) จะผ่านการทดสอบเส้นตรงในแนวนอนโดย อัตโนมัติ ซึ่งเชื่อมโยงหัวข้อนี้กับสัปดาห์ที่ 6 §6.6 โดยตรง: ฟังก์ชันโทนเดียวคือฟังก์ชันที่ รับประกันว่ามีฟังก์ชันผกผันพอดี

11.5 อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน

ถ้า f หาอนุพันธ์ได้และเป็นหนึ่งต่อหนึ่ง โดย f′(f⁻¹(a)) ≠ 0 แล้ว f⁻¹ หาอนุพันธ์ได้ที่ a และ

(f⁻¹)′(a) = 1f′(f⁻¹(a)) (11.4)

การสะท้อนข้าม y=x จาก §11.4 อธิบายว่าทำไม: การสะท้อนเส้นสัมผัสข้าม y=x จะสลับการขึ้นกับการวิ่งของมัน ซึ่งกลับความชัน — ความชันของ f⁻¹ ที่จุดหนึ่งคือส่วนกลับของความชันของ f ที่จุดสะท้อนที่ สอดคล้องกัน

ตัวอย่าง 11.3 — อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน

ให้ f(x) = x³+2x−1 กำหนดว่า f(1)=2 จงหา (f⁻¹)′(2) โดยไม่ต้องแก้หา f⁻¹ อย่างชัดแจ้ง

ขั้นที่ 1 — ระบุ a=f(1)=2 ดังนั้น f⁻¹(2)=1

โดยสมการ 11.3 เนื่องจาก f(1)=2 จึงต้องได้ f⁻¹(2)=1

ขั้นที่ 2 — หา f'(x) แล้วประเมินค่าที่ x=1

f′(x) = 3x²+2 ดังนั้น f′(1) = 5

ขั้นที่ 3 — ใช้สมการ 11.4

(f⁻¹)′(2) = 1/f′(f⁻¹(2)) = 1/f′(1) = 1/5

11.6 ลอการิทึมธรรมชาติ นิยามเป็นปริพันธ์

สัปดาห์ที่ 9 §9.5 ทิ้งช่องว่างไว้: ∫ x⁻¹ dx ไม่มีปฏิยานุพันธ์จากกฎกำลัง วิชานี้เติมเต็มช่องว่างโดยนิยามฟังก์ชันใหม่ให้เป็นปริพันธ์นั้น:

ln x = ∫₁^x 1t dt, x > 0 (11.5)

โดยทฤษฎีบทหลักมูลส่วนที่ 1 (สัปดาห์ที่ 9 §9.1) การหาอนุพันธ์ของบทนิยามนี้ให้ทันที

d/dx[ln x] = 1x (11.6)

— ซึ่งในที่สุดก็เติมเต็มตารางปฏิยานุพันธ์จากสมการ 9.5a:

∫ 1x dx = ln|x| + C (11.7)

11.7 สมบัติของลอการิทึมธรรมชาติ

เนื่องจาก d/dx[ln x] = 1/x > 0 เมื่อ x > 0 ln x จึงเป็นฟังก์ชันเพิ่มตลอดโดเมนของมัน (สัปดาห์ที่ 6 §6.6) จึงเป็นหนึ่งต่อหนึ่ง จึงผกผันได้ (§11.4) — ฟังก์ชันผกผันของมันนิยามใน §11.8 สมบัติ เชิงพีชคณิตที่คุ้นเคยจากพรีแคลคูลัสล้วนสืบเนื่องมาจากบทนิยามเชิงปริพันธ์:

สมบัติ	ข้อความ
ผลคูณ	ln(`xy`) = ln `x` + ln `y`
ผลหาร	ln(`x`/`y`) = ln `x` − ln `y`
เลขยกกำลัง	ln(`x`^r) = `r` ln `x`
ที่ x=1	ln 1 = 0 (ปริพันธ์จาก 1 ถึง 1 เป็นศูนย์ §9.7)

11.8 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

เนื่องจาก ln เป็นฟังก์ชันเพิ่มและหนึ่งต่อหนึ่ง มันจึงมีฟังก์ชันผกผัน เรียกว่า ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลธรรมชาติ exp(x) และจำนวน e นิยามเป็น exp(1) คือจำนวนเฉพาะที่ ln e=1 การเขียน exp(x) เป็น e^x สมการ 11.3 ให้

ln(e^x) = x และ e^ln x = x (x > 0) (11.8)

การใช้กฎอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน (สมการ 11.4) กับ f(x)=ln x, f′(x)=1/x ที่ a = e^x (ดังนั้น f⁻¹(a) = x):

d/dx[e^x] = 11/e^x = e^x (11.9)

e^x เป็นฟังก์ชันเฉพาะ (จนถึงตัวคูณคงที่) ที่เป็นอนุพันธ์ของตัวเอง — และด้วยเหตุนี้จึงเป็นปฏิยานุพันธ์ของตัวเองด้วย:

∫ e^x dx = e^x + C (11.10)

เอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมฐานทั่วไป

สำหรับฐาน a > 0 ใด ๆ a^x นิยามเป็น e^x ln a และ log_ax = ln x/ln a ฟังก์ชัน เอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมทุกตัว ไม่ว่าฐานใด จึงสร้างจาก e^x และ ln x เพียงอย่างเดียว กฎลูกโซ่ (สัปดาห์ที่ 4 §4.10) จึงหาอนุพันธ์ของ ฟังก์ชันเหล่านี้ได้ทุกตัว

ตัวอย่าง 11.4 — การหาอนุพันธ์ด้วยกฎลูกโซ่

จงหาอนุพันธ์ของ y = e^3x² และ y = ln(5x+1)

ขั้นที่ 1 — กฎลูกโซ่กับ e ยกกำลังฟังก์ชันชั้นใน

d/dx[e^3x²] = e^3x²·6x

ขั้นที่ 2 — กฎลูกโซ่กับ ln ของฟังก์ชันชั้นใน

d/dx[ln(5x+1)] = 15x+1·5 = 5/(5x+1)

11.9 ตัวอย่างโจทย์สรุปรวม

ตัวอย่าง 11.5 — การหาปริพันธ์ด้วยลอการิทึมและเอกซ์โพเนนเชียล

จงหาค่า ∫ xe^x² dx และ ∫ tan x dx

ขั้นที่ 1 — แทนค่าสำหรับปริพันธ์เอกซ์โพเนนเชียล (สัปดาห์ที่ 9 §9.6)

u=x², du=2x dx: ∫ xe^x² dx = (1/2)∫ e^u du = (1/2)e^u+C

= (1/2)e^x² + C

ขั้นที่ 2 — เขียน tan x ใหม่แล้วสังเกตรูปแบบลอการิทึม

tan x = sin x/cos x ให้ u=cos x, du=−sin x dx:

∫ sin xcos x dx = −∫ 1u du = −ln|u|+C

∫ tan x dx = −ln|cos x| + C — ปริพันธ์มาตรฐานตัวใหม่ ที่เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อสมการ 11.7 มีอยู่แล้วเท่านั้น

11.10 สัญลักษณ์ที่ใช้

สัญลักษณ์	ความหมาย
`f`⁻¹	ฟังก์ชันผกผันของ f
หนึ่งต่อหนึ่ง	ไม่มีอินพุตสองตัวที่ต่างกันให้ผลลัพธ์เดียวกัน
ln `x`	ลอการิทึมธรรมชาติ นิยามเป็น ∫_1^x (1/t)dt
`e`	จำนวนเฉพาะที่ ln e = 1; ฐานของเอกซ์โพเนนเชียลธรรมชาติ
`e`^x	ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลธรรมชาติ ฟังก์ชันผกผันของ ln x

11.11 แบบฝึกหัด

งาน แรงผันแปร. แรง F(x)=10/x² N กระทำต่อวัตถุ จาก x=1 ถึง x=5 ม. จงหางานที่ทำ
งาน สปริง. สปริงมีความยาวธรรมชาติ 1 ม. และต้องใช้แรง 50 N เพื่อยืดให้ยาว 1.2 ม. จงหางานในการยืดจาก 1 ม. ถึง 1.5 ม.
การมีอยู่ของฟังก์ชันผกผัน. จงอธิบายว่าทำไม f(x)=x² จึงไม่มีฟังก์ชันผกผันบน (−∞,∞) แต่มีบน [0,∞)
อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน. ให้ f(x)=2x+sin x กำหนด f(0)=0 จงหา (f⁻¹)′(0)
อนุพันธ์ลอการิทึม. จงหาอนุพันธ์ของ y = ln(x²+1)
สมบัติลอการิทึม. จงทำให้ ln(x³√y) − ln z เป็นการกระจายลอการิทึมเดียว แล้วย้อนกลับกระบวนการ
อนุพันธ์เอกซ์โพเนนเชียล. จงหาอนุพันธ์ของ y = e^−2x sin x โดยใช้กฎผลคูณ
ปริพันธ์เอกซ์โพเนนเชียล. จงหาค่า ∫ x²e^x³ dx
ปริพันธ์ลอการิทึม. จงหาค่า ∫₁^e (1/x) dx แล้วตีความคำตอบโดยใช้สมการ 11.5
โจทย์รวม. จงหาค่า ∫ cot x dx โดยใช้วิธีของตัวอย่าง 11.5

11.12 เอกสารอ้างอิง

Thomas, G. B., Weir, M. D. and Hass, J. Thomas' Calculus, SI Units, 15th ed. Pearson, 2024. — §6.5 (งานและแรงของไหล), §7.1 (ฟังก์ชันผกผันและอนุพันธ์), §7.2 (ลอการิทึมธรรมชาติ), §7.3 (ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล)
Pearson MyLab Math — การบ้านสัปดาห์ที่ 11 มอบหมายโดยตรงจากหัวข้อข้างต้น ดูวันกำหนดส่งได้ที่ ปฏิทินการเรียน

← สัปดาห์ที่ 10: ปริมาตร ความยาวส่วนโค้ง และพื้นที่ผิว แบบทดสอบทบทวนสัปดาห์ที่ 11 →