ทุกอย่างตั้งแต่สัปดาห์ที่ 2 เป็นต้นมาเป็นลิมิตในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งเสมอ: ของผลหารผลต่าง ของผลรวมรีมันน์ ของปริพันธ์ ลิมิตของสัปดาห์นี้เป็นของลำดับ — รายการตัวเลขที่จัดดัชนีด้วย จำนวนเต็มบวก — แล้วจึงเป็นของผลรวมสะสมของพจน์จำนวนอนันต์
14.1 ลำดับ
ลำดับ {an} คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจำนวนเต็มบวก เขียนแทน ด้วย a1, a2, a3, … ลำดับอาจ กำหนดด้วยสูตรชัดแจ้ง (an=1/n) หรือแบบเวียนบังเกิด (a1=1, an+1=an/2)
14.2 ลิมิตของลำดับ
{an} ลู่เข้า สู่ L ถ้า an เข้าใกล้ L ได้มากเท่าที่ต้องการโดยให้ n มากพอ — แนวคิดเดียวกับลิมิตที่อนันต์ในสัปดาห์ที่ 3 (§3.8) แต่จำกัดเฉพาะอินพุตจำนวนเต็ม:
ถ้าไม่มี L เช่นนั้น {an} ลู่ออก ทางลัดอันทรงพลัง: ถ้า an=f(n) สำหรับฟังก์ชัน f ที่ นิยามบนจำนวนจริงโดย limx→∞ f(x) = L แล้ว limn→∞ an = L ด้วยเช่นกัน — ทุกเทคนิคจากสัปดาห์ที่ 3 และ 12 (รวมถึงกฎโลปิตาล) ใช้ได้กับลำดับ
ตัวอย่าง 14.1 — ลิมิตของลำดับผ่านกฎโลปิตาล
จงหา limn→∞ (ln n)/n
ขั้นที่ 1 — แทน n ด้วยตัวแปรต่อเนื่อง x
พิจารณา f(x) = (ln x)/x ซึ่งเป็นรูปแบบ ∞/∞ เมื่อ x→∞
ขั้นที่ 2 — ใช้กฎโลปิตาล (สัปดาห์ที่ 12 §12.2)
limx→∞ (1/x)/1 = 0
ขั้นที่ 3 — ส่งผลลัพธ์กลับไปยังลำดับ
limn→∞ (ln n)/n = 0
14.3 กฎของลิมิตลำดับและทฤษฎีบทการบีบ
กฎของลิมิตจากสัปดาห์ที่ 2 §2.6 (ผลบวก ผลคูณ ผลหาร ตัวคูณคงที่) ล้วนใช้ได้กับลำดับโดยไม่เปลี่ยน เช่นเดียวกับทฤษฎีบทการบีบ (สัปดาห์ที่ 2 §2.9): ถ้า an ≤ bn ≤ cn และ an, cn ต่างลู่เข้า L แล้ว bn ก็ลู่เข้า L ด้วยเช่นกัน
14.4 ลำดับที่มีขอบเขตและลำดับโทนเดียว
{an} มีขอบเขตบน ถ้ามีตัวเลข M ที่ทำให้ an ≤ M สำหรับทุก n (มีขอบเขตล่างในทำนอง เดียวกัน) มันเป็น โทนเดียว ถ้าไม่ลดตลอดหรือไม่เพิ่มตลอด — ภาษาเดียวกับสัปดาห์ที่ 6 §6.6 ที่ใช้กับลำดับแทนฟังก์ชันต่อเนื่อง
14.5 ทฤษฎีบทลำดับโทนเดียว
ถ้า {an} เป็นโทนเดียวและมีขอบเขต มันลู่เข้า นี่คือคู่หูแบบไม่ต่อเนื่อง ของแนวคิดเบื้องหลังทฤษฎีบทค่าสุดขีด (สัปดาห์ที่ 6 §6.2): ลำดับที่เคลื่อนไปทิศทางเดียวตลอดแต่ไม่ เคยหลุดออกจากบริเวณที่มีขอบเขต ไม่มีที่ไปอื่นนอกจากลู่เข้าสู่ลิมิต
14.6 อนุกรมอนันต์และผลรวมย่อย
กำหนดลำดับ {an} อนุกรมอนันต์ ∑n=1∞ an นิยามผ่าน ผลรวมย่อย ของมัน SN = ∑n=1N an (เทียบกับสัญกรณ์ซิกมาของสัปดาห์ที่ 7 §7.3):
อนุกรม ลู่เข้า สู่ลิมิตนั้นถ้าลิมิตมีอยู่จริง (จำกัด) และ ลู่ออก ในกรณีอื่น — ภาษาการลู่เข้าเดียวกับปริพันธ์ไม่ตรงแบบของสัปดาห์ที่ 13 และไม่ใช่เรื่องบังเอิญ: ทั้งสองรวมชิ้นส่วน จำนวนอนันต์เข้าด้วยกันโดยการหาลิมิตของการตัดปลายจำกัด
14.7 อนุกรมเรขาคณิต
อนุกรมเรขาคณิต ∑n=0∞ arn (พจน์แรก a อัตราส่วนร่วม r) เป็นอนุกรม หนึ่งเดียวที่ตัดสินการลู่เข้าได้อย่างสมบูรณ์และหาผลรวมได้อย่างแน่นอน:
ผลรวมย่อยจำกัด SN = a(1−rN+1)/(1−r) พิสูจน์ได้ด้วย กลเม็ดมาตรฐาน “คูณด้วย r แล้วลบ” การให้ N→∞ ทำให้ rN+1→0 ก็ต่อเมื่อ |r|<1
ตัวอย่าง 14.2 — การหาผลรวมอนุกรมเรขาคณิต
จงหาค่า ∑n=0∞ 3(1/2)n
ขั้นที่ 1 — ระบุ a กับ r แล้วยืนยันการลู่เข้า
a=3, r=1/2, |r|<1 อนุกรมจึงลู่เข้า (สมการ 14.3)
ขั้นที่ 2 — ใช้สูตรผลรวม
3/(1−1/2) = 3/(1/2) = 6
14.8 การทดสอบพจน์ที่ n สำหรับการลู่ออก
ถ้า ∑ an ลู่เข้า จำเป็นต้องได้ limn→∞ an = 0 — พจน์ที่รวมเข้าไปต้องหดเข้าใกล้ศูนย์ในที่สุด ไม่เช่นนั้นผลรวมสะสมจะไม่มีวันคงที่ได้ ข้อความ กลับด้านให้การทดสอบการลู่ออกอย่างรวดเร็ว:
ข้อความกลับเป็นเท็จ: an→0 ไม่รับประกันการลู่เข้า สัปดาห์ที่ 15 §15.1 จะแสดงอนุกรมฮาร์มอนิก ∑ 1/n ซึ่งพจน์ → 0 แต่ตัวอนุกรมเองลู่ออก — การทดสอบพจน์ที่ n พิสูจน์ได้เพียงการลู่ออกเท่านั้น ไม่เคยพิสูจน์การลู่เข้าได้เลย
ตัวอย่าง 14.3 — การทดสอบพจน์ที่ n
จงแสดงว่า ∑n=1∞ n/(n+1) ลู่ออก
ขั้นที่ 1 — หาลิมิตของพจน์
limn→∞ n/(n+1) = 1 (ทางลัดเปรียบเทียบดีกรีจากสัปดาห์ที่ 3 §3.9)
ขั้นที่ 2 — ใช้สมการ 14.4
เนื่องจากลิมิตคือ 1 ≠ 0 อนุกรมจึงลู่ออก
14.9 ตัวอย่างโจทย์สรุปรวม
ตัวอย่าง 14.4 — ทศนิยมซ้ำในฐานะอนุกรมเรขาคณิต
จงเขียน 0.45 = 0.454545… ให้เป็นเศษส่วน โดยใช้อนุกรมเรขาคณิต
ขั้นที่ 1 — เขียนทศนิยมซ้ำเป็นอนุกรม
0.454545… = 0.45 + 0.0045 + 0.000045 + … = ∑n=0∞ 0.45(0.01)n
ขั้นที่ 2 — ระบุ a, r แล้วยืนยันการลู่เข้า
a=0.45, r=0.01, |r|<1
ขั้นที่ 3 — ใช้สมการ 14.3
0.45/(1−0.01) = 0.45/0.99 = 45/99
= 5/11 (ลดรูปแล้ว) ดังนั้น 0.454545… = 5/11 พอดี
14.10 สัญลักษณ์ที่ใช้
| สัญลักษณ์ | ความหมาย |
|---|---|
| {an} | ลำดับ ฟังก์ชันบนจำนวนเต็มบวก |
| SN | ผลรวมย่อยที่ N ของอนุกรม |
| อนุกรมเรขาคณิต | ∑arⁿ โดยพจน์แรก a และอัตราส่วนร่วม r |
| การทดสอบพจน์ที่ n | ถ้า a_n ไม่เข้าใกล้ 0 แล้ว ∑a_n ลู่ออก |
14.11 แบบฝึกหัด
- ลิมิตของลำดับ. จงหา limn→∞ (3n²+1)/(n²−2) โดยใช้ทางลัดเปรียบเทียบดีกรีจากสัปดาห์ที่ 3
- ลิมิตของลำดับ กฎโลปิตาล. จงหา limn→∞ n/en
- โทนเดียวและมีขอบเขต. จงแสดงว่า an=n/(n+1) เป็นฟังก์ชันเพิ่มและมีขอบเขตบนที่ 1 แล้วบอกว่าทฤษฎีบทลำดับโทนเดียวสรุปอะไร
- อนุกรมเรขาคณิต ลู่เข้า. จงหาค่า ∑n=1∞ 4(−1/3)n
- อนุกรมเรขาคณิต ลู่ออก. จงอธิบายว่าทำไม ∑n=0∞ 2(3/2)n จึงลู่ออก โดยใช้สมการ 14.3
- การทดสอบพจน์ที่ n. จงแสดงว่า ∑n=1∞ cos(1/n) ลู่ออก
- ทศนิยมซ้ำ. จงเขียน 0.7 เป็นเศษส่วนโดยใช้อนุกรมเรขาคณิต
- โจทย์รวม. ลูกบอลตกจากความสูง 10 ม. เด้งกลับ 60% ของความสูงเดิมทุกครั้ง โดยใช้อนุกรมเรขาคณิต จงหาระยะทางรวม (ขึ้นและลง) ที่มันเดินทางก่อนหยุดนิ่ง
14.12 เอกสารอ้างอิง
- Thomas, G. B., Weir, M. D. and Hass, J. Thomas' Calculus, SI Units, 15th ed. Pearson, 2024. — §9.1 (ลำดับ), §9.2 (อนุกรมอนันต์)
- Pearson MyLab Math — การบ้านสัปดาห์ที่ 14 มอบหมายโดยตรงจากหัวข้อข้างต้น ดูวันกำหนดส่งได้ที่ ปฏิทินการเรียน