การทดสอบการลู่เข้าของอนุกรม

ไม่มีการทดสอบการลู่เข้าสากลเพียงหนึ่งเดียว แต่มีชุดเครื่องมือ และส่วนหนึ่งของทักษะที่ สัปดาห์นี้สอนคือการรู้จำว่าเครื่องมือใดเหมาะกับอนุกรมแบบใด การทดสอบทุกแบบด้านล่างตอบคำถามเดียวกัน — ∑a_n ลู่เข้าหรือไม่ — โดยใช้กลไกจากช่วงก่อนหน้าที่ต่างกัน

15.1 การทดสอบปริพันธ์

ถ้า f(x) ต่อเนื่อง เป็นบวก และลดลงสำหรับ x ≥ 1 และ a_n = f(n) แล้ว ∑_n=1^∞ a_n กับ ∫₁^∞ f(x) dx จะลู่เข้าทั้งคู่หรือลู่ออกทั้งคู่ พื้นที่ใต้เส้นโค้งต่อเนื่องและผลรวมพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่สร้าง จากมัน (คือภาพผลรวมรีมันน์ของสัปดาห์ที่ 7 พอดี) ขังกันไว้ภายในผลต่างที่มีขอบเขต ดังนั้นตัวหนึ่งจะ จำกัดก็ต่อเมื่ออีกตัวจำกัดด้วย

15.2 อนุกรมฮาร์มอนิกและอนุกรม-p

อนุกรมฮาร์มอนิก ∑ 1/n มีพจน์ → 0 (การทดสอบพจน์ที่ n จึงเงียบ) แต่กลับลู่ออก — การทดสอบปริพันธ์ยืนยันสิ่งนี้ได้ทันที เพราะ ∫₁^∞ (1/x)dx ลู่ออก (สัปดาห์ที่ 13 §13.10) โดยทั่วไปแล้ว อนุกรม-p:

— เหมือนกับการทดสอบ-p ของปริพันธ์ไม่ตรงแบบในสมการ 13.3 ทุกประการ โดยอาศัยการทดสอบปริพันธ์เอง ตระกูลอนุกรม-p คือมาตรฐานที่การทดสอบเปรียบเทียบด้านล่างใช้เปรียบเทียบอนุกรมอื่น

15.3 การทดสอบเปรียบเทียบโดยตรง

ถ้า 0 ≤ a_n ≤ b_n สำหรับทุก n ที่เกินจุดหนึ่งไป แล้ว:

• ∑b_n ลู่เข้า  ⇒  ∑a_n ลู่เข้า (อนุกรมที่เล็กกว่าถูกจำกัดด้วยอนุกรมที่ลู่เข้า)
• ∑a_n ลู่ออก  ⇒  ∑b_n ลู่ออก (อนุกรมที่ใหญ่กว่าเล็กกว่าอนุกรมที่ลู่ออกไม่ได้)

15.4 การทดสอบเปรียบเทียบด้วยลิมิต

ถ้า a_n, b_n > 0 และ lim_n→∞ a_n/b_n = c สำหรับ c จำกัดบางค่าที่ c > 0 แล้ว ∑a_n กับ ∑b_n จะลู่เข้าทั้งคู่หรือลู่ออกทั้งคู่ วิธีนี้หลีกเลี่ยง อสมการที่บางครั้งเขียนยากของ §15.3 โดยแลกกับการคำนวณลิมิตแทน (ทางลัดเปรียบเทียบดีกรีจาก สัปดาห์ที่ 3 §3.9 มักเป็นเส้นทางที่เร็วที่สุด)

15.5 การลู่เข้าสัมบูรณ์

อนุกรม ∑a_n ลู่เข้าสัมบูรณ์ ถ้า ∑|a_n| ลู่เข้า การลู่เข้าสัมบูรณ์แสดงถึงการลู่เข้า (ตัวอนุกรมเอง ต้องลู่เข้าด้วย) แต่ข้อความกลับไม่จริง — อนุกรมที่ลู่เข้าได้เพียงเพราะการหักล้างกันระหว่างพจน์ บวกและลบเรียกว่า ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข (§15.9)

15.6 การทดสอบอัตราส่วน

ให้ ρ = lim_n→∞ |a_n+1/a_n| แล้ว:

• ρ < 1: ∑a_n ลู่เข้าสัมบูรณ์
• ρ > 1 (หรืออนันต์): ∑a_n ลู่ออก
• ρ = 1: สรุปไม่ได้ — ลองการทดสอบอื่น

การทดสอบอัตราส่วนเป็นตัวเลือกมาตรฐานเมื่อ a_n มีแฟกทอเรียลหรือกำลัง n เพราะอัตราส่วนของพจน์ติดกันทำให้เกิดการหักล้างจำนวนมากในกรณีนั้น

15.7 การทดสอบราก

ให้ ρ = lim_n→∞ ⁿ√|a_n| สามกรณีเดียวกับการทดสอบ อัตราส่วนใช้ได้ การทดสอบรากเป็นตัวเลือกธรรมชาติเมื่อ a_n มีกำลัง n อยู่ตลอดทั้งพจน์อยู่แล้ว

15.8 อนุกรมสลับและการทดสอบอนุกรมสลับ

อนุกรมสลับ มีพจน์ที่สลับเครื่องหมายอย่างเคร่งครัด ∑(−1)ⁿb_n โดย b_n > 0 การทดสอบอนุกรมสลับ: ถ้า b_n ลดลงในที่สุดและ b_n → 0 อนุกรมจะลู่เข้า

15.9 การลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข

อนุกรมฮาร์มอนิกสลับลู่เข้า (§15.8) แต่อนุกรมของค่าสัมบูรณ์ของมัน ∑1/n คือ อนุกรมฮาร์มอนิก ซึ่งลู่ออก (§15.2) จึงเป็น ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข: ลู่เข้าตามที่เขียนไว้ แต่ไม่ลู่เข้าสัมบูรณ์ นี่คือเหตุผลที่การลู่เข้าสัมบูรณ์ของ §15.5 และการทดสอบอนุกรมสลับของ §15.8 ต้องตรวจสอบแยกกันและตามลำดับนั้น — อนุกรมหนึ่งอาจผ่านการทดสอบหนึ่งแต่ไม่ผ่านอีกแบบ

15.10 ตัวอย่างโจทย์สรุปรวม

15.11 สัญลักษณ์ที่ใช้

15.12 แบบฝึกหัด

1. การทดสอบปริพันธ์. ใช้การทดสอบปริพันธ์พิจารณาว่า ∑ ne⁻ⁿ² ลู่เข้าหรือไม่
2. อนุกรม-p. จงบอกโดยไม่ต้องคำนวณเพิ่มเติมว่า ∑1/n^1.5 และ ∑1/√n ลู่เข้าหรือไม่
3. การเปรียบเทียบโดยตรง. จงพิจารณาว่า ∑1/(n³+1) ลู่เข้าหรือไม่
4. การเปรียบเทียบด้วยลิมิต. จงพิจารณาว่า ∑(n+1)/(n²√n) ลู่เข้าหรือไม่
5. การทดสอบอัตราส่วน. จงพิจารณาว่า ∑3ⁿ/n! ลู่เข้าหรือไม่
6. การทดสอบราก. จงพิจารณาว่า ∑(n/(2n+1))ⁿ ลู่เข้าหรือไม่
7. การทดสอบอนุกรมสลับ. จงพิจารณาว่า ∑(−1)ⁿ/√n ลู่เข้าหรือไม่
8. สัมบูรณ์เทียบกับมีเงื่อนไข. จงจำแนก ∑(−1)ⁿ/n² ว่าลู่เข้าสัมบูรณ์ ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข หรือลู่ออก
9. การเลือกการทดสอบ. จงพิจารณาว่า ∑(2n−1)/(n³+2n) ลู่เข้าหรือไม่ พร้อมอธิบายว่าทำไมจึงเลือกการทดสอบที่ใช้
10. โจทย์รวม. จงจำแนก ∑(−1)ⁿn²/n! ว่าลู่เข้าสัมบูรณ์ ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข หรือลู่ออก

15.13 เอกสารอ้างอิง

• Thomas, G. B., Weir, M. D. and Hass, J. Thomas' Calculus, SI Units, 15th ed. Pearson, 2024. — §9.3 (การทดสอบปริพันธ์), §9.4 (การทดสอบเปรียบเทียบ), §9.5 (การลู่เข้า สัมบูรณ์ การทดสอบอัตราส่วนและราก), §9.6 (อนุกรมสลับและการลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข)
• Pearson MyLab Math — การบ้านสัปดาห์ที่ 15 มอบหมายโดยตรงจากหัวข้อข้างต้น ดูวันกำหนดส่งได้ที่ ปฏิทินการเรียน