สัปดาห์ที่ 4: อนุพันธ์และกฎการหาอนุพันธ์

ในสัปดาห์ที่ 2 สมการ 2.3 นิยามความชันของเส้นสัมผัสเป็นลิมิต และสัญญาว่าลิมิตนี้จะได้ ชื่อและบททั้งบทเป็นของตัวเอง นี่คือบทนั้น

4.1 อนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง

อนุพันธ์ ของ f ที่ a เขียนแทนด้วย f′(a) คือ

f′(a) = lim_h→0 f(a+h) − f(a)h (4.1)

— คือสมการ 2.3 นั่นเอง เพียงแต่ตอนนี้มีชื่อแล้ว เมื่อลิมิตนี้มีอยู่จริง f เรียกว่า หาอนุพันธ์ได้ ที่ a และ f′(a) คือทั้งความชันของเส้น สัมผัสที่ a และ (§4.4) อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่งของ f ณ จุดนั้น รูปแบบเทียบเท่า โดยแทน a+h ด้วย x และ h ด้วย x−a บางครั้งสะดวกกว่า:

f′(a) = lim_x→a f(x) − f(a)x − a (4.2)

ตัวอย่าง 4.1 — อนุพันธ์จากบทนิยาม

จงหา f′(3) สำหรับ f(x) = x²

ขั้นที่ 1 — ตั้งผลหารผลต่าง (สมการ 4.1)

f(3+h) − f(3)h = (3+h)² − 9h = 9 + 6h + h² − 9h

ขั้นที่ 2 — ทำให้ง่ายก่อนหาลิมิต

6h + h²h = 6 + h ใช้ได้เมื่อ h ≠ 0 ซึ่งเป็นทั้งหมดที่ลิมิตเมื่อ h→0 ต้องการ

ขั้นที่ 3 — หาลิมิต

f′(3) = lim_h→0 (6+h) = 6

4.2 อนุพันธ์ในฐานะฟังก์ชัน

การแทนจุดคงที่ a ในสมการ 4.1 ด้วยตัวแปร x จะเปลี่ยนอนุพันธ์เองให้เป็นฟังก์ชัน:

f′(x) = lim_h→0 f(x+h) − f(x)h (4.3)

f′(x) กำหนดให้แต่ละ x มีค่าเป็นความชันของกราฟ f ณ จุดนั้น โดเมนของมันอาจเล็กกว่าโดเมนของ f เอง — ฟังก์ชันอาจหาอนุพันธ์ไม่ได้ที่ จุดซึ่งมันนิยามอย่างสมบูรณ์ (§4.3)

4.3 การหาอนุพันธ์ได้แสดงถึงความต่อเนื่อง

ถ้า f หาอนุพันธ์ได้ที่ a แล้ว f ต่อเนื่องที่ a ข้อความกลับไม่จริง — ความต่อเนื่องไม่รับประกันการหาอนุพันธ์ได้

สามวิธีที่ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ไม่ได้แม้จะยังต่อเนื่อง

มุมแหลม. f(x) = |x| ต่อเนื่องที่ 0 แต่ผลหารผลต่างด้าน ซ้ายและขวาให้ −1 กับ +1 ตามลำดับ — ไม่มีความชันเส้นสัมผัสเดียวที่ชัดเจน
เส้นสัมผัสแนวดิ่ง. f(x) = x^1/3 มีเส้นสัมผัส แนวดิ่งที่ 0 ผลหารผลต่างเพิ่มขึ้นไม่มีขอบเขต
จุดยอดแหลม (Cusp). f(x) = x^2/3 มีจุดแหลมคมที่ 0 ซึ่งความชันด้านเดียวเป็น +∞ และ −∞

4.4 อนุพันธ์ในฐานะอัตราการเปลี่ยนแปลง

ทบทวนจากสัปดาห์ที่ 2 §2.2 ว่า Δy/Δx คืออัตราการเปลี่ยนแปลง เฉลี่ยบนช่วงหนึ่ง การให้ช่วงนั้นหดเหลือเป็นจุดเดียว ดังใน §4.1 จะยกระดับมันเป็น อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง:

อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่งของ y เทียบกับ x ที่ x=a = f′(a) (4.4)

ในโจทย์การเคลื่อนที่ ถ้า s(t) คือตำแหน่ง s′(t) คือความเร็ว: อัตราขณะหนึ่งที่ตำแหน่งเปลี่ยนแปลง แนวคิดเดียวนี้ — อนุพันธ์เท่ากับอัตราขณะหนึ่ง — คือสิ่งที่ทำให้อนุพันธ์มีประโยชน์นอกเหนือจากคณิตศาสตร์ ทั้งในฟิสิกส์ เศรษฐศาสตร์ ชีววิทยา และวิศวกรรม

4.5 กฎค่าคงที่และกฎกำลัง

d/dx[c] = 0 สำหรับค่าคงที่ c ใด ๆ กฎค่าคงที่

d/dx[xⁿ] = nxⁿ⁻¹ สำหรับจำนวนจริง n ใด ๆ กฎกำลัง

กฎกำลังใช้ได้กับเลขชี้กำลังจำนวนจริงทุกตัว — ทั้งบวก ลบ หรือเศษส่วน — ไม่ใช่แค่จำนวนเต็ม บวกเท่านั้น แม้ว่าวิชานี้จะพิสูจน์จากสมการ 4.3 โดยตรงเฉพาะกรณีจำนวนเต็มบวก (ใช้การกระจายทวินาม) และ กรณีจำนวนเต็ม/เศษส่วนเล็ก ๆ เท่านั้น

ตัวอย่าง 4.2 — กฎกำลังกับเลขชี้กำลังลบและเศษส่วน

จงหาอนุพันธ์ของ (ก) f(x) = 1/x³, (ข) g(x) = √x

ขั้นที่ 1 — เขียนแต่ละตัวเป็นกำลังของ x

f(x) = x⁻³; g(x) = x^1/2

ขั้นที่ 2 — ใช้กฎกำลัง

f′(x) = −3x⁻⁴ = −3/x⁴; g′(x) = (1/2)x^−1/2 = 1/(2√x)

4.6 กฎผลบวก ผลต่าง และตัวคูณคงที่

d/dx[f(x) ± g(x)] = f′(x) ± g′(x) กฎผลบวก/ผลต่าง

d/dx[c·f(x)] = c·f′(x) สำหรับค่าคงที่ c ใด ๆ กฎตัวคูณคงที่

ทั้งสองข้อสืบเนื่องมาจากกฎของลิมิตที่สอดคล้องกันในสัปดาห์ที่ 2 §2.6 ที่ใช้กับผลหารผลต่าง เมื่อรวมกับกฎกำลัง จะทำให้หาอนุพันธ์ของพหุนามใดก็ได้ทีละพจน์

ตัวอย่าง 4.3 — การหาอนุพันธ์ของพหุนาม

จงหาอนุพันธ์ของ f(x) = 4x³ − 7x² + 2x − 5

ขั้นที่ 1 — ใช้กฎกำลังกับแต่ละพจน์ พร้อมพาค่าคงที่ผ่านไปด้วย

f′(x) = 4(3x²) − 7(2x) + 2(1) − 0

ขั้นที่ 2 — ทำให้ง่าย

f′(x) = 12x² − 14x + 2

4.7 กฎผลคูณ

d/dx[f(x)g(x)] = f′(x)g(x) + f(x)g′(x) (4.5)

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

(fg)′ ไม่ใช่ f′g′ ลองทดสอบกับ f(x) = g(x) = x: กฎที่ผิดจะให้ 1·1 = 1 แต่อนุพันธ์ที่ถูกต้องของ x·x = x² คือ 2x ซึ่งมีเพียงสมการ 4.5 เท่านั้นที่ให้ผลถูกต้อง: 1·x + x·1 = 2x

ตัวอย่าง 4.4 — กฎผลคูณ

จงหาอนุพันธ์ของ y = (x²+1)(3x−2)

ขั้นที่ 1 — ระบุตัวประกอบสองตัวและอนุพันธ์ของแต่ละตัว

f = x²+1, f′ = 2x; g = 3x−2, g′ = 3

ขั้นที่ 2 — ใช้สมการ 4.5

y′ = 2x(3x−2) + (x²+1)(3)

ขั้นที่ 3 — กระจายและทำให้ง่าย

y′ = 6x²−4x + 3x²+3 = 9x² − 4x + 3

4.8 กฎผลหาร

d/dx f(x)g(x) = f′(x)g(x) − f(x)g′(x)[g(x)]², g(x) ≠ 0 (4.6)

ลำดับพจน์ในตัวเศษสำคัญ — ไม่เหมือนกฎผลคูณ กฎผลหารไม่สมมาตรระหว่าง f กับ g เพราะการหารไม่มีสมบัติการสลับที่ เทคนิคช่วยจำที่พบบ่อย: “ล่าง d บน ลบ บน d ล่าง หารด้วยล่างยกกำลังสอง” โดย “ล่าง” คือตัวส่วนและ “บน” คือตัวเศษ

ตัวอย่าง 4.5 — กฎผลหาร

จงหาอนุพันธ์ของ y = x²−1x+3

ขั้นที่ 1 — ระบุตัวเศษและตัวส่วนพร้อมอนุพันธ์

f = x²−1, f′ = 2x; g = x+3, g′ = 1

ขั้นที่ 2 — ใช้สมการ 4.6

y′ = 2x(x+3) − (x²−1)(1)(x+3)²

ขั้นที่ 3 — กระจายตัวเศษแล้วทำให้ง่าย

2x²+6x − x²+1 = x²+6x+1

y′ = x²+6x+1(x+3)²

4.9 อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

พิสูจน์จากสมการ 4.3 โดยใช้สูตรการบวกมุมจากสัปดาห์ที่ 1 (สมการ 1.11–1.12) และลิมิตสองข้อ lim_h→0 (sin h)/h = 1 และ lim_h→0 (cos h−1)/h = 0:

d/dx[sin x] = cos x (4.7a)

d/dx[cos x] = −sin x (4.7b)

d/dx[tan x] = sec²x (4.7c)

อีกสามข้อที่เหลือมาจากกฎผลหารที่ใช้กับ csc, sec และ cot ในรูปของ sin และ cos:

d/dx[cot x] = −csc²x (4.7d)

d/dx[sec x] = sec x tan x (4.7e)

d/dx[csc x] = −csc x cot x (4.7f)

ทำไมใช้ได้เฉพาะหน่วยเรเดียน

ลิมิต lim_h→0 (sin h)/h = 1 ที่สูตรเหล่านี้อาศัยอยู่ เป็นจริงก็ต่อเมื่อ h วัดเป็นเรเดียนเท่านั้น — ตรงกับ คำเตือนเรื่องหน่วยเรเดียนจากสัปดาห์ที่ 1 §1.10 ที่มาถึงจุดสำคัญแล้ว

ตัวอย่าง 4.6 — กฎผลคูณกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ

จงหาอนุพันธ์ของ y = x² sin x

ขั้นที่ 1 — ระบุตัวประกอบ

f = x², f′ = 2x; g = sin x, g′ = cos x

ขั้นที่ 2 — ใช้กฎผลคูณ (สมการ 4.5)

y′ = 2x sin x + x² cos x

4.10 กฎลูกโซ่

สำหรับฟังก์ชันประกอบ (สัปดาห์ที่ 1 §1.7) กฎลูกโซ่กล่าวว่า:

d/dx[f(g(x))] = f′(g(x))·g′(x) (4.8)

ในสัญกรณ์ไลบ์นิซ โดยเขียน y = f(u) และ u = g(x):

dydx = dydu · dudx (4.9)

— หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน “ชั้นนอก” โดยปล่อยฟังก์ชัน “ชั้นใน” ไว้เหมือนเดิม ข้างในนั้น แล้วคูณด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันชั้นใน นี่คือกฎที่คุณจะใช้บ่อยที่สุดตลอดวิชาที่เหลือ

ตัวอย่าง 4.7 — กฎลูกโซ่

จงหาอนุพันธ์ของ y = sin(3x²+1)

ขั้นที่ 1 — ระบุฟังก์ชันชั้นนอกและชั้นใน

ชั้นนอก: sin(·); ชั้นใน: u = 3x²+1, u′ = 6x

ขั้นที่ 2 — หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันชั้นนอก คงฟังก์ชันชั้นในไว้ข้างใน

cos(3x²+1)

ขั้นที่ 3 — คูณด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันชั้นใน (สมการ 4.8)

y′ = cos(3x²+1)·6x = 6x cos(3x²+1)

4.11 ตัวอย่างโจทย์สรุปรวม

ตัวอย่าง 4.8 — รวมกฎผลคูณ กฎผลหาร และกฎลูกโซ่

จงหาอนุพันธ์ของ y = x sin(2x)x²+1

ขั้นที่ 1 — โครงสร้างชั้นนอกเป็นผลหาร (§4.8)

f = x sin(2x), g = x²+1, g′ = 2x

ขั้นที่ 2 — หาอนุพันธ์ของ f ด้วยกฎผลคูณและกฎลูกโซ่ (§4.7, §4.10)

f′ = (1) sin(2x) + x·cos(2x)·2 = sin(2x) + 2x cos(2x)

ขั้นที่ 3 — ประกอบด้วยกฎผลหาร (สมการ 4.6)

y′ = [sin(2x)+2x cos(2x)](x²+1) − x sin(2x)(2x)(x²+1)²

4.12 สัญลักษณ์ที่ใช้

สัญลักษณ์	ความหมาย
`f`′(`x`), `dy`/`dx`	อนุพันธ์ของ `f` (หรือ `y`) เทียบกับ `x`
`d`/`dx`[·]	“อนุพันธ์เทียบกับ x ของ...”
หาอนุพันธ์ได้	มีอนุพันธ์อยู่จริง (คือลิมิตในสมการ 4.1 มีอยู่จริง)
ผลหารผลต่าง	[`f`(`a`+`h`)−`f`(`a`)]/`h` ก่อนหาลิมิต

4.13 แบบฝึกหัด

อนุพันธ์จากบทนิยาม. ใช้สมการ 4.1 หา f′(2) สำหรับ f(x) = x²+3x
จุดที่หาอนุพันธ์ไม่ได้. จงอธิบายว่าทำไม f(x) = |x−2| จึงหาอนุพันธ์ไม่ได้ที่ x = 2 แม้ว่าจะต่อเนื่องที่นั่น
กฎกำลัง. จงหาอนุพันธ์ของ f(x) = 5x⁴ − 3x⁻² + √x
กฎผลคูณ. จงหาอนุพันธ์ของ y = (2x−1)(x³+4)
กฎผลหาร. จงหาอนุพันธ์ของ y = (3x+1)/(x²−2)
อนุพันธ์ตรีโกณมิติ. จงหาอนุพันธ์ของ y = x cos x − sin x
ผลหารตรีโกณมิติ. จงหาอนุพันธ์ของ y = tan x โดยใช้กฎผลหารกับ sin x/cos x แล้วตรวจว่าตรงกับสมการ 4.7c
กฎลูกโซ่. จงหาอนุพันธ์ของ y = (x²+5)⁴
กฎลูกโซ่กับตรีโกณมิติ. จงหาอนุพันธ์ของ y = cos(5x−1)
กฎลูกโซ่สองชั้น. จงหาอนุพันธ์ของ y = sin²(3x) (คือ [sin(3x)]²)
โจทย์รวม. จงหาอนุพันธ์ของ y = x² tan(2x)
เส้นสัมผัส. จงหาสมการเส้นสัมผัสของ y = x³ − x ที่ x = 1
อัตราการเปลี่ยนแปลง. ถ้า s(t) = t³ − 6t² เป็นตำแหน่งเป็นเมตร จงหาความเร็ว s′(t) แล้วหาค่าที่ t = 2

4.14 เอกสารอ้างอิง

Thomas, G. B., Weir, M. D. and Hass, J. Thomas' Calculus, SI Units, 15th ed. Pearson, 2024. — §3.1 (เส้นสัมผัสและอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง), §3.2 (อนุพันธ์ในฐานะฟังก์ชัน), §3.3 (กฎการหาอนุพันธ์), §3.4 (อนุพันธ์ในฐานะอัตราการเปลี่ยนแปลง), §3.5 (อนุพันธ์ ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ), §3.6 (กฎลูกโซ่)
Pearson MyLab Math — การบ้านสัปดาห์ที่ 4 มอบหมายโดยตรงจากหัวข้อข้างต้น ดูวันกำหนดส่งได้ที่ ปฏิทินการเรียน

← สัปดาห์ที่ 3: ลิมิตด้านเดียว ความต่อเนื่อง และลิมิตที่อนันต์ แบบทดสอบทบทวนสัปดาห์ที่ 4 →