EN TH
ตัวอย่างโจทย์

01006030 | สัปดาห์ที่ 6 | เอกสารประกอบการสอน

การประยุกต์ใช้อนุพันธ์

จุดที่เครื่องมือการหาอนุพันธ์ทั้งหมดจากสัปดาห์ที่ 4-5 ในที่สุดก็ได้ผลตอบแทน: การหาค่ามากที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน การอ่านรูปร่างของกราฟโดยตรงจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ และการแก้โจทย์การหาค่าเหมาะที่สุดในสถานการณ์จริง

ทุกกฎในสัปดาห์ที่ 4-5 ใช้คำนวณอนุพันธ์ สัปดาห์นี้ถามว่าอนุพันธ์มีไว้ทำอะไร: การอ่านอนุพันธ์บอกได้ว่าฟังก์ชันมีค่ามากที่สุด น้อยที่สุด กำลังเพิ่มขึ้น ลดลง โค้งขึ้น หรือโค้งลง ที่ใดบ้าง โดยไม่ต้องพล็อตจุดด้วยมือแม้แต่จุดเดียว

6.1 ค่าสุดขีดสัมบูรณ์และค่าสุดขีดเฉพาะที่

f มี ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ ที่ c ถ้า f(c) ≥ f(x) สำหรับทุก x ในโดเมน ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ นิยามในทำนอง เดียวกันด้วย ≤ ค่าสูงสุดเฉพาะที่ ต้องการเพียง f(c) ≥ f(x) สำหรับ x ใกล้ c เท่านั้น — ค่าสุดขีดสัมบูรณ์ ทุกตัวที่เกิดขึ้นที่จุดภายในจะเป็นค่าสุดขีดเฉพาะที่โดยอัตโนมัติ แต่ข้อความกลับไม่จริง

6.2 ทฤษฎีบทค่าสุดขีดและจุดวิกฤต

ถ้า f ต่อเนื่องบนช่วงปิด [a,b] มันจะมีทั้งค่าสูงสุดสัมบูรณ์และ ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์อยู่ที่ใดที่หนึ่งใน [a,b] — เรียกว่า ทฤษฎีบทค่าสุดขีด ทั้งความต่อเนื่องและความเป็นช่วงปิดจำเป็นทั้งคู่: ช่วงเปิดหรือความไม่ต่อเนื่อง อาจทำให้ฟังก์ชันเข้าใกล้ค่าสูงสุด (supremum) ที่มันไม่เคยไปถึงจริง ๆ

ค่าสุดขีดเฉพาะที่เกิดขึ้นได้เฉพาะที่ จุดวิกฤต: จุด c ในโดเมนที่ f′(c) = 0 หรือ f′(c) ไม่มีอยู่จริง นี่เป็น เงื่อนไขจำเป็นแต่ไม่เพียงพอ — ไม่ใช่ทุกจุดวิกฤตจะเป็นค่าสุดขีด (เช่น f(x)=x3 มี f′(0)=0 แต่ไม่มีค่าสุดขีดที่ 0)

6.3 วิธีช่วงปิด

ในการหาค่าสุดขีดสัมบูรณ์ของ f ที่ต่อเนื่องบน [a,b]:

  1. หาจุดวิกฤตทั้งหมดของ f ใน (a,b)
  2. หาค่า f ที่จุดวิกฤตแต่ละจุดและที่จุดปลายทั้งสอง a, b
  3. ค่าที่มากที่สุดที่พบคือค่าสูงสุดสัมบูรณ์ ค่าที่น้อยที่สุดคือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์

ตัวอย่าง 6.1 — วิธีช่วงปิด

จงหาค่าสุดขีดสัมบูรณ์ของ f(x) = x3 − 3x บน [−2, 3]

ขั้นที่ 1 — หาจุดวิกฤต

f′(x) = 3x2−3 = 0  ⇒  x = ±1 อยู่ใน (−2,3) ทั้งคู่

ขั้นที่ 2 — หาค่า f ที่จุดวิกฤตและจุดปลาย

f(−2)=−2; f(−1)=2; f(1)=−2; f(3)=18

ขั้นที่ 3 — เปรียบเทียบ

ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ 18 ที่ x=3; ค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ −2 พบทั้งที่ x=−2 และ x=1

6.4 ทฤษฎีบทของโรลล์และทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย

ทฤษฎีบทของโรลล์. ถ้า f ต่อเนื่องบน [a,b] หาอนุพันธ์ได้บน (a,b) และ f(a)=f(b) แล้ว f′(c)=0 สำหรับ c ค่าใดค่าหนึ่งใน (a,b)

ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย (MVT) ขยายทฤษฎีบทของโรลล์โดยเอียงภาพ: ถ้า f ต่อเนื่องบน [a,b] และหาอนุพันธ์ได้บน (a,b) แล้ว

f′(c) = f(b) − f(a)b − a   สำหรับ c ค่าใดค่าหนึ่งใน (a,b) (6.1)

ในเชิงเรขาคณิต: ที่จุดภายในจุดหนึ่ง เส้นสัมผัสขนานกับเส้นตัดที่เชื่อมจุดปลายทั้งสอง (สัปดาห์ที่ 2 §2.2) ทฤษฎีบทของโรลล์คือกรณีพิเศษที่เส้นตัดนั้นเป็นแนวนอน

ตัวอย่าง 6.2 — การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย

จงยืนยันทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยสำหรับ f(x) = x2 บน [0, 4] โดยหา c อย่างชัดเจน

ขั้นที่ 1 — คำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย (ข้างขวาของสมการ 6.1)

(16−0)/(4−0) = 4

ขั้นที่ 2 — ให้ f'(c) เท่ากับค่านั้นแล้วแก้สมการ

f′(x) = 2x ดังนั้น 2c = 4

c = 2 ซึ่งอยู่ใน (0,4) ตามที่ต้องการ

6.5 ผลสืบเนื่องของทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย

ข้อเท็จจริงสองข้อ ทั้งคู่พิสูจน์ได้โดยตรงจากทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ถูกใช้อยู่เสมอ:

ข้อเท็จจริงข้อที่สองคือเหตุผลที่ปฏิยานุพันธ์ (สัปดาห์ที่ 9) มักมาเป็นตระกูลที่ต่างกันแค่ค่าคงที่ เสมอ — ข้อเท็จจริงที่คุณจะพึ่งพาตลอดการหาปริพันธ์

6.6 ฟังก์ชันโทนเดียวและการทดสอบอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

เครื่องหมายของ f′ บนช่วงหนึ่งพฤติกรรมของ f
f′(x) > 0f เป็นฟังก์ชันเพิ่ม
f′(x) < 0f เป็นฟังก์ชันลด

นี่เป็นผลสืบเนื่องโดยตรงจากทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย: ถ้า f′ > 0 ตลอดช่วงหนึ่ง สองจุดใด ๆ ในช่วงนั้นจะมีความชันเส้นตัดเท่ากับ f′(c) > 0 ที่จุดภายในบางจุด ฟังก์ชันจึงต้องเพิ่มขึ้น การทดสอบอนุพันธ์อันดับหนึ่ง อ่านค่าสุดขีดเฉพาะที่ได้โดยตรงจากการ เปลี่ยนเครื่องหมายของ f′ ที่จุดวิกฤต c:

ตัวอย่าง 6.3 — การทดสอบอนุพันธ์อันดับหนึ่ง

จงหาและจำแนกค่าสุดขีดเฉพาะที่ของ f(x) = x3 − 3x2

ขั้นที่ 1 — จุดวิกฤต

f′(x) = 3x2−6x = 3x(x−2) = 0  ⇒  x = 0, 2

ขั้นที่ 2 — ทดสอบเครื่องหมายของ f' บนแต่ละช่วง

บน (−∞,0): เลือก x=−1, f′(−1)=9>0
บน (0,2): เลือก x=1, f′(1)=−3<0
บน (2,∞): เลือก x=3, f′(3)=9>0

ขั้นที่ 3 — จำแนกโดยใช้การเปลี่ยนเครื่องหมาย

บวกเป็นลบที่ x=0: ค่าสูงสุดเฉพาะที่ f(0)=0 ลบเป็นบวกที่ x=2: ค่าต่ำสุดเฉพาะที่ f(2)=−4

6.7 ความเว้าและอนุพันธ์อันดับสอง

อนุพันธ์อันดับสอง f″(x) คืออนุพันธ์ของ f′(x) เครื่องหมายของมันอธิบาย ความเว้า:

เครื่องหมายของ f″ บนช่วงหนึ่งรูปร่างของกราฟ
f″(x) > 0เว้าขึ้น (คล้ายถ้วย; f′ เป็นฟังก์ชันเพิ่ม)
f″(x) < 0เว้าลง (คล้ายหมวก; f′ เป็นฟังก์ชันลด)

6.8 จุดเปลี่ยนเว้า

จุดเปลี่ยนเว้า (inflection point) คือจุดบนกราฟที่ความเว้าเปลี่ยนเครื่องหมาย ที่จุดเปลี่ยนเว้า f″(x)=0 หรือ f″(x) ไม่มีอยู่จริง — แต่เช่นเดียวกับจุดวิกฤตและค่าสุดขีด เงื่อนไขนี้จำเป็นแต่ไม่เพียงพอ: ต้องตรวจสอบว่าความเว้าเปลี่ยน เครื่องหมายจริงทั้งสองด้าน

6.9 การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง

ที่จุดวิกฤต c ซึ่ง f′(c)=0:

ตัวอย่าง 6.4 — การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง

จงจำแนกจุดวิกฤตของ f(x) = x3 − 3x2 โดยใช้ f″

ขั้นที่ 1 — หา f″

f′(x) = 3x2−6x;   f″(x) = 6x−6

ขั้นที่ 2 — หาค่าที่จุดวิกฤตแต่ละจุด (x=0, x=2 จากตัวอย่าง 6.3)

f″(0) = −6 < 0;   f″(2) = 6 > 0

ขั้นที่ 3 — สรุปผล

ค่าสูงสุดเฉพาะที่ x=0 (ตรงกับตัวอย่าง 6.3); ค่าต่ำสุดเฉพาะที่ x=2 (ตรงกับตัวอย่าง 6.3) — ทั้งสองวิธีสอดคล้องกัน ซึ่งเป็นเช่นนี้เสมอเมื่อทั้ง สองวิธีใช้ได้

6.10 กลยุทธ์การร่างกราฟ

  1. หาโดเมนและสมมาตร (สัปดาห์ที่ 1 §1.4) หรือเส้นกำกับ (สัปดาห์ที่ 3 §3.7–3.8)
  2. หา f′ จุดวิกฤตของมัน และช่วงที่ f เพิ่ม/ลด (§6.6)
  3. จำแนกจุดวิกฤตแต่ละจุดด้วยการทดสอบอนุพันธ์อันดับหนึ่งหรือสอง (§6.6, §6.9)
  4. หา f″ ศูนย์ของมัน และช่วงความเว้า ระบุจุดเปลี่ยนเว้า (§6.7–6.8)
  5. พล็อตจุดสำคัญไม่กี่จุด (จุดตัดแกน ค่าสุดขีด จุดเปลี่ยนเว้า) แล้วร่างกราฟโดยอาศัยข้อมูลทั้งหมด ข้างต้น

6.11 การประยุกต์หาค่าเหมาะที่สุด

โจทย์การหาค่าเหมาะที่สุดถามหาค่ามากที่สุดหรือน้อยที่สุดของปริมาณหนึ่งภายใต้ข้อจำกัด กลยุทธ์:

  1. วาดภาพและตั้งชื่อตัวแปรที่เกี่ยวข้องทุกตัว
  2. เขียนปริมาณที่ต้องการหาค่าเหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว โดยใช้สมการข้อจำกัดกำจัดตัวแปร อื่นออกไป
  3. กำหนดโดเมนของฟังก์ชันนั้นจากบริบททางกายภาพ
  4. ใช้วิธีช่วงปิด (§6.3) หรือการทดสอบอนุพันธ์อันดับหนึ่ง/สองเพื่อหาค่าสุดขีด

ตัวอย่าง 6.5 — การหาพื้นที่ที่ล้อมได้มากที่สุด

เกษตรกรมีรั้วยาว 200 เมตรสำหรับล้อมพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าติดกับกำแพงตรงที่มีอยู่แล้ว (จึงต้องกั้น รั้วเพียงสามด้าน) จงหาขนาดที่ทำให้พื้นที่ที่ล้อมได้มากที่สุด

ขั้นที่ 1 — ตั้งชื่อตัวแปรและเขียนข้อจำกัด

ให้ x = ความยาวของแต่ละด้านที่ตั้งฉากกับกำแพง y = ความยาวของด้านที่ขนานกับ กำแพง รั้วที่ใช้: 2x + y = 200

ขั้นที่ 2 — เขียนปริมาณที่ต้องการหาค่าเหมาะที่สุดเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว

y = 200 − 2x ดังนั้นพื้นที่ A(x) = xy = x(200−2x) = 200x − 2x2 โดยมี โดเมน 0 < x < 100

ขั้นที่ 3 — หาจุดวิกฤต

A′(x) = 200 − 4x = 0  ⇒  x = 50

ขั้นที่ 4 — ยืนยันว่าเป็นค่าสูงสุดและบอกขนาด

A″(x) = −4 < 0 สำหรับทุก x ดังนั้นโดยการทดสอบ อนุพันธ์อันดับสอง x=50 ให้ค่าสูงสุด

x = 50 ม., y = 200−100 = 100 ม. ให้พื้นที่สูงสุด A = 50(100) = 5000 ตร.ม.

6.12 สัญลักษณ์ที่ใช้

สัญลักษณ์ความหมาย
จุดวิกฤตจุด c ที่ f'(c)=0 หรือ f'(c) ไม่มีอยู่จริง
MVTทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย (Mean Value Theorem)
f″(x)อนุพันธ์อันดับสองของ f คือ (f')'
จุดเปลี่ยนเว้าจุดที่ความเว้าเปลี่ยนเครื่องหมาย
เว้าขึ้น/เว้าลงf″>0 (คล้ายถ้วย) / f″<0 (คล้ายหมวก)

6.13 แบบฝึกหัด

  1. วิธีช่วงปิด. จงหาค่าสุดขีดสัมบูรณ์ของ f(x) = x3 − 12x บน [−3, 3]
  2. จุดวิกฤต. จงหาจุดวิกฤตทั้งหมดของ f(x) = x4 − 4x2
  3. ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย. จงหาค่า c ที่ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยรับประกันสำหรับ f(x) = x3 บน [0, 2]
  4. ผลสืบเนื่องของทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย. ฟังก์ชันสองตัวสอดคล้องกับ f′(x) = g′(x) สำหรับทุก x และ f(0)=3, g(0)=1 จงหา f(x) − g(x) สำหรับทุก x
  5. การทดสอบอนุพันธ์อันดับหนึ่ง. จงหาและจำแนกค่าสุดขีดเฉพาะที่ทั้งหมดของ f(x) = x3 − 3x + 1
  6. ความเว้า. จงหาช่วงความเว้าและจุดเปลี่ยนเว้าของ f(x) = x4 − 6x2
  7. การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง. ใช้การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองจำแนกจุดวิกฤตของ f(x) = x3 − 3x + 1 (จากข้อ 5) แล้ว ยืนยันว่าทั้งสองวิธีสอดคล้องกัน
  8. การร่างกราฟ. จงร่างกราฟ f(x) = x4 − 4x3 ระบุค่าสุดขีดและจุดเปลี่ยนเว้าทั้งหมด
  9. การหาค่าเหมาะที่สุด พื้นที่. กล่องสี่เหลี่ยมฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่มีฝาปิดต้องมีปริมาตร 32 ลบ.ม. จงหาขนาดที่ทำให้พื้นที่ผิวน้อยที่สุด
  10. การหาค่าเหมาะที่สุด ระยะทาง. จงหาจุดบนเส้นตรง y = 2x + 1 ที่ใกล้จุด (3, 0) มากที่สุด
  11. การหาค่าเหมาะที่สุด รายได้. บริษัทขายสินค้า q หน่วยที่ราคา p(q) = 50 − 0.5q ต่อหน่วย จงหาค่า q ที่ทำให้รายได้ R(q) = qp(q) มากที่สุด

6.14 เอกสารอ้างอิง

← สัปดาห์ที่ 5: อนุพันธ์แบบอิมพลิซิตและอัตราสัมพัทธ์ แบบทดสอบทบทวนสัปดาห์ที่ 6 →