สัปดาห์นี้ปิดเนื้อหาก่อนสอบกลางภาค (บทที่ 1–5.3) ปริพันธ์จำกัดเขตตอบคำถามที่ดู ไม่เหมือนปัญหาเส้นสัมผัสของอนุพันธ์เลย แต่สัปดาห์ที่ 9 จะแสดงให้เห็นว่าทั้งสองเป็นกระบวนการลิมิต เดียวกันที่มองจากทิศทางตรงข้ามกันอย่างลับ ๆ
7.1 ปัญหาพื้นที่
จะหาพื้นที่ที่แน่นอนใต้เส้นโค้ง y=f(x) ≥ 0 เหนือแกน x ระหว่าง x=a และ x=b ได้อย่างไร สำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือ สามเหลี่ยม เรขาคณิตพื้นฐานตอบได้ทันที แต่สำหรับขอบเขตที่เป็นเส้นโค้ง ไม่มีสูตรพื้นฐานใดตอบได้ — อุปสรรคเดียวกับที่ปัญหาเส้นสัมผัสเจอในสัปดาห์ที่ 2 และวิธีแก้ก็เหมือนกัน: ประมาณด้วยสิ่งที่ง่าย (สี่เหลี่ยมผืนผ้า) แล้วหาลิมิต
7.2 การประมาณพื้นที่ด้วยผลรวมจำกัด
แบ่ง [a,b] ออกเป็น n ช่วงย่อยที่มีความกว้างเท่ากัน Δx = (b−a)/n บนแต่ละช่วงย่อย สร้าง สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความสูงเท่ากับ f ที่จุดใดจุดหนึ่งในช่วงย่อยนั้น แล้วรวมพื้นที่ของ สี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งหมดเข้าด้วยกัน การเลือกจุดนั้นสามแบบทั่วไปให้ผลรวมมาตรฐานสามแบบ:
| ผลรวม | ความสูงที่ใช้บนแต่ละช่วงย่อย |
|---|---|
| ผลรวมจุดปลายซ้าย | f ที่จุดปลายซ้ายของช่วงย่อย |
| ผลรวมจุดปลายขวา | f ที่จุดปลายขวาของช่วงย่อย |
| ผลรวมจุดกึ่งกลาง | f ที่จุดกึ่งกลางของช่วงย่อย |
ทั้งสามแบบลู่เข้าพื้นที่ที่แน่นอนเดียวกันเมื่อ n → ∞ (สำหรับ f ต่อเนื่อง) แต่อาจประมาณค่าสูงหรือต่ำกว่าพื้นที่จริงต่างกันสำหรับ n จำกัดค่าใดค่าหนึ่ง — เช่น สำหรับฟังก์ชันเพิ่ม ผลรวมซ้ายจะประมาณค่าต่ำไป และผลรวมขวาจะประมาณค่าสูงไป
7.3 สัญกรณ์ซิกมา
สัญกรณ์ซิกมาเขียนผลรวมของพจน์ที่คล้ายกันจำนวนมากให้กระชับ:
มีสูตรผลรวมสามสูตรที่ปรากฏบ่อยเมื่อต้องหาค่าผลรวมจำกัดอย่างแน่นอน (เช่นใน §7.2 ด้วย n เฉพาะเจาะจง ก่อนหาลิมิต):
นี่คือผลรวมที่พิสูจน์ด้วยอุปนัยในสัปดาห์ที่ 1 ตัวอย่าง 1.8 พอดี (ไม่ออกสอบ แต่ผลลัพธ์นี้เองถูกใช้ อยู่เสมอตั้งแต่นี้เป็นต้นไป)
7.4 ผลรวมรีมันน์
รูปแบบทั่วไปของ §7.2 ที่อนุญาตให้ช่วงย่อยมีความกว้างไม่เท่ากันและจุดประเมินค่า xk* ในแต่ละช่วงเป็นค่าใดก็ได้ เรียกว่า ผลรวมรีมันน์ (Riemann sum):
ผลรวมซ้าย ขวา และกึ่งกลาง (§7.2) ล้วนเป็นกรณีพิเศษของสมการ 7.3 ที่ได้จากการเลือก xk* ต่างกัน นอร์ม ‖P‖ ของ พาร์ทิชันคือความกว้างของช่วงย่อยที่กว้างที่สุด การให้ ‖P‖ → 0 บังคับให้ ทุกช่วงย่อยหดเล็กลง ซึ่งเป็นรูปแบบที่แม่นยำของ “เมื่อ n → ∞”
7.5 ปริพันธ์จำกัดเขตในฐานะลิมิต
ถ้าผลรวมรีมันน์ในสมการ 7.3 เข้าใกล้ลิมิตเดียวกันไม่ว่าจะเลือกพาร์ทิชันหรือจุด xk* อย่างไร เมื่อ ‖P‖ → 0 ลิมิตนั้นคือ ปริพันธ์จำกัดเขต ของ f จาก a ถึง b:
เมื่อ f(x) ≥ 0 บน [a,b] ลิมิตนี้คือพื้นที่ใต้เส้นโค้ง พอดี — รูปแบบที่แม่นยำของภาพไม่เป็นทางการใน §7.1 เมื่อ f(x) เป็นลบ ได้ ปริพันธ์จะคำนวณพื้นที่แบบมีเครื่องหมาย: พื้นที่ใต้แกน x นับเป็นลบ
7.6 การหาปริพันธ์ได้และสัญกรณ์
ฟังก์ชันทุกตัวที่ต่อเนื่องบน [a,b] จะ หาปริพันธ์ได้ ที่นั่น (ลิมิตใน สมการ 7.4 มีอยู่จริง) — ข้อเท็จจริงที่วิชานี้ใช้โดยไม่พิสูจน์ ใน ∫ab f(x) dx, a กับ b คือ ขอบเขตการหาปริพันธ์, f(x) คือ ปริพันธ์ตั้ง (integrand) และ x คือ ตัวแปรของการหาปริพันธ์ — ตัวแปร สมมติที่เปลี่ยนชื่อได้อย่างอิสระ (∫f(x)dx = ∫f(t)dt) โดยไม่เปลี่ยนค่าของปริพันธ์ เหมือนกับดัชนีของผลรวมในสมการ 7.1 ที่เปลี่ยนชื่อได้เช่นกัน
7.7 สมบัติพื้นฐานของปริพันธ์จำกัดเขต
| สมบัติ | ข้อความ |
|---|---|
| การกลับลำดับ | ∫ba fdx = −∫ab fdx |
| ความกว้างเป็นศูนย์ | ∫aa fdx = 0 |
| ตัวคูณคงที่ | ∫ab kfdx = k∫ab fdx |
| ผลบวก/ผลต่าง | ∫ab (f±g)dx = ∫ab fdx ± ∫ab gdx |
| การรวมกันได้ของช่วง | ∫ac fdx + ∫cb fdx = ∫ab fdx |
| การครอบงำ | ถ้า f(x) ≥ g(x) บน [a,b] แล้ว ∫ab fdx ≥ ∫ab gdx |
สมบัติผลบวก ตัวคูณคงที่ และการครอบงำ ล้วนเป็นเพียงกฎของลิมิต (สัปดาห์ที่ 2 §2.6) ที่ส่งต่อจาก ผลรวมรีมันน์ในสมการ 7.3 ไปยังลิมิตของมัน
7.8 ตัวอย่างโจทย์
ตัวอย่าง 7.1 — ผลรวมรีมันน์แบบจุดปลายขวา
จงประมาณ ∫02 x2 dx โดยใช้ผลรวมรีมันน์แบบจุดปลายขวาด้วย n=4 ช่วงย่อยเท่ากัน
ขั้นที่ 1 — หา Δx และจุดปลายขวา
Δx = 2/4 = 0.5 จุดปลายขวา: 0.5, 1, 1.5, 2
ขั้นที่ 2 — หาค่า f ที่แต่ละจุดแล้วรวม
f(0.5)=0.25, f(1)=1, f(1.5)=2.25, f(2)=4 ผลรวม = 7.5
ขั้นที่ 3 — คูณด้วย Δx
7.5 × 0.5 = 3.75 (ค่าที่แน่นอน ซึ่งจะพบในสัปดาห์ที่ 9 ผ่านทฤษฎีบทหลักมูล คือ 8/3 ≈ 2.667 — ผลรวมขวาประมาณค่าสูงไปในที่นี้เพราะ x2 เป็น ฟังก์ชันเพิ่มบน [0,2])
ตัวอย่าง 7.2 — พื้นที่ที่แน่นอนโดยใช้บทนิยามลิมิต
จงหา ∫02 x2 dx อย่างแน่นอนโดยใช้ลิมิตของผลรวมรีมันน์แบบจุดปลายขวา
ขั้นที่ 1 — ตั้งผลรวมทั่วไปด้วย n ช่วงย่อย
Δx = 2/n; จุดปลายขวา xk = 2k/n
Sn = ∑k=1n (2k/n)2·(2/n) = 8n3 ∑k=1n k2
ขั้นที่ 2 — ใช้สมการ 7.2b
Sn = 8n3 · n(n+1)(2n+1)6 = 4(n+1)(2n+1)3n2
ขั้นที่ 3 — หาลิมิตเมื่อ n → ∞ (เทคนิคจากสัปดาห์ที่ 3 §3.9)
กระจายแล้วหารทุกพจน์ด้วย n2 พฤติกรรมหลักให้ 4(2)/3 = 8/3
∫02 x2 dx = 8/3 ยืนยันค่าที่แน่นอนที่กล่าวถึงในตัวอย่าง 7.1
7.9 สัญลักษณ์ที่ใช้
| สัญลักษณ์ | ความหมาย |
|---|---|
| ∑ | ซิกมา สัญกรณ์ผลรวม |
| ผลรวมรีมันน์ | ผลรวม ∑ f(xk*)Δxk ที่ประมาณปริพันธ์ |
| ‖P‖ | นอร์มของพาร์ทิชัน: ความกว้างของช่วงย่อยที่กว้างที่สุด |
| ∫ab f(x)dx | ปริพันธ์จำกัดเขตของ f จาก a ถึง b |
| ปริพันธ์ตั้ง (integrand) | ฟังก์ชัน f(x) ที่ถูกหาปริพันธ์ |
| ขอบเขตการหาปริพันธ์ | ขอบเขต a และ b |
7.10 แบบฝึกหัด
- ผลรวมซ้ายกับขวา. สำหรับ f(x)=x+1 บน [0,4] ด้วย n=4 จงคำนวณผลรวมรีมันน์แบบจุดปลายซ้ายและขวา แล้วอธิบายว่าทำไมจึงต่างกัน
- ผลรวมจุดกึ่งกลาง. จงประมาณ ∫13 x2 dx โดยใช้ผลรวมรีมันน์แบบจุดกึ่งกลางด้วย n=2
- สัญกรณ์ซิกมา. จงเขียน ∑k=15 (2k−1) เป็นผลรวมที่ชัดเจนแล้วหาค่า
- สูตรผลรวม. ใช้สมการ 7.2a หาค่า ∑k=1100 k
- การตั้งผลรวมรีมันน์. จงเขียนผลรวมรีมันน์แบบจุดปลายขวาทั่วไป Sn สำหรับ ∫14 x dx แล้ว ทำให้ง่ายที่สุดก่อนหาลิมิต
- พื้นที่ที่แน่นอนโดยบทนิยามลิมิต. ใช้วิธีในตัวอย่าง 7.2 หา ∫03 x dx อย่างแน่นอน แล้วตรวจสอบคำตอบกับสูตรพื้นฐานของพื้นที่สามเหลี่ยม
- สมบัติ. กำหนดให้ ∫05 f(x)dx = 8 และ ∫03 f(x)dx = 3 จงหา ∫35 f(x)dx
- สมบัติ รวม. กำหนดให้ ∫14 f(x)dx = 6 และ ∫14 g(x)dx = 2 จงหา ∫14 [3f(x)−2g(x)]dx
- เครื่องหมายของปริพันธ์. โดยไม่ต้องคำนวณอย่างแน่นอน จงอธิบายว่าทำไม ∫−22 (x3−x) dx ต้องเท่ากับ 0 พอดี โดยใช้สมมาตร (สัปดาห์ที่ 1 §1.4)
- สมบัติการครอบงำ. โดยไม่ต้องหาค่าปริพันธ์ทั้งสองข้าง จงอธิบายว่าทำไม ∫01 x2 dx ≤ ∫01 x dx
7.11 เอกสารอ้างอิง
- Thomas, G. B., Weir, M. D. and Hass, J. Thomas' Calculus, SI Units, 15th ed. Pearson, 2024. — §5.1 (พื้นที่และการประมาณด้วยผลรวมจำกัด), §5.2 (สัญกรณ์ซิกมาและลิมิตของ ผลรวมจำกัด), §5.3 (ปริพันธ์จำกัดเขต)
- Pearson MyLab Math — การบ้านสัปดาห์ที่ 7 มอบหมายโดยตรงจากหัวข้อข้างต้น ดูวันกำหนดส่งได้ที่ ปฏิทินการเรียน