นี่คือสัปดาห์สุดท้ายของเทคนิคการหาปริพันธ์ใหม่ เมื่อรวมกับการแทนค่า (สัปดาห์ที่ 9) การหาปริพันธ์แบบแยกส่วน และปริพันธ์ตรีโกณมิติ (สัปดาห์ที่ 12) การแทนค่าตรีโกณมิติและเศษส่วนย่อยจะ ทำให้ชุดเครื่องมือมาตรฐานสำหรับการหาปริพันธ์ของฟังก์ชันมูลฐานด้วยมือสมบูรณ์ สัปดาห์นี้ปิดท้ายด้วย การถามว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อข้อกำหนดของปริพันธ์จำกัดเขตเอง — ช่วงจำกัด ปริพันธ์ตั้งมีขอบเขต — ถูกผ่อนคลาย
13.1 ทำไมต้องใช้การแทนค่าตรีโกณมิติ
นิพจน์อย่าง √(a2−x2), √(a2+x2) หรือ √(x2−a2) ต้านทานการแทนค่าธรรมดา (สัปดาห์ที่ 9 §9.6) เพราะไม่มี u เชิงพีชคณิตใดทำให้รากที่สองง่ายขึ้นได้ การแทนที่ x ด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติของตัวแปรใหม่ θ จะทำให้เอกลักษณ์พีทาโกรัส (สัปดาห์ที่ 1 สมการ 1.8) ยุบรากที่สองให้เหลือฟังก์ชันตรีโกณมิติเดียว
13.2 การแทนค่ามาตรฐานสามแบบ
| นิพจน์ | การแทนค่า | เอกลักษณ์ที่ใช้ |
|---|---|---|
| √(a2−x2) | x=a sin θ | 1−sin2θ=cos2θ |
| √(a2+x2) | x=a tan θ | 1+tan2θ=sec2θ |
| √(x2−a2) | x=a sec θ | sec2θ−1=tan2θ |
นี่คือสมการ 1.8 และสมการ 1.9 ของสัปดาห์ที่ 1 นั่นเอง ที่เลือกมาเพื่อให้การแทนค่าทำให้นิพจน์ใต้ รากเป็นกำลังสองสมบูรณ์ หลังจากหาปริพันธ์ในรูป θ แล้ว สามเหลี่ยมอ้างอิงจะแปลง คำตอบกลับเป็น x
13.3 ตัวอย่างการแทนค่าตรีโกณมิติ
ตัวอย่าง 13.1 — กรณี a²−x²
จงหาค่า ∫ dx√(4−x2)
ขั้นที่ 1 — แทนค่า x=2 sin θ (a=2)
dx=2 cos θ dθ; √(4−x2) = √(4−4sin2θ) = 2 cos θ
ขั้นที่ 2 — แทนค่าแล้วทำให้ง่าย
∫ 2 cos θ dθ2 cos θ = ∫ dθ = θ + C
ขั้นที่ 3 — แปลงกลับเป็น x โดยใช้ x=2 sin θ คือ θ=arcsin(x/2)
arcsin(x/2) + C
13.4 เศษส่วนย่อย: การตั้งการกระจาย
ฟังก์ชันตรรกยะแท้ P(x)/Q(x) (ดีกรีตัวเศษน้อยกว่าดีกรี ตัวส่วน) สามารถแยกเป็นผลรวมของเศษส่วนที่ง่ายกว่าได้ เมื่อแยกตัวประกอบ Q(x) แล้ว ถ้าดีกรีตัวเศษไม่น้อยกว่า ให้หารยาวเชิงพหุนามก่อน
13.5 เศษส่วนย่อย: ตัวประกอบเชิงเส้นที่แตกต่างกัน
สำหรับตัวประกอบเชิงเส้นที่แตกต่างกันแต่ละตัว (x−r) ของ Q(x) ให้ใส่พจน์ A/(x−r) โดยมีค่าคงที่ ที่ยังไม่รู้ A หาได้โดยกำจัดตัวส่วนแล้วเทียบสัมประสิทธิ์ (หรือแทนค่า x ที่สะดวก)
ตัวอย่าง 13.2 — ตัวประกอบเชิงเส้นที่แตกต่างกัน
จงหาค่า ∫ 3x+5x2−x−2 dx
ขั้นที่ 1 — แยกตัวประกอบตัวส่วนแล้วตั้งการกระจาย
x2−x−2 = (x−2)(x+1) 3x+5(x−2)(x+1) = Ax−2 + Bx+1
ขั้นที่ 2 — กำจัดตัวส่วนแล้วแก้หา A, B
3x+5 = A(x+1) + B(x−2) ที่ x=2: 11=3A ⇒ A=11/3 ที่ x=−1: 2=−3B ⇒ B=−2/3
ขั้นที่ 3 — หาปริพันธ์ทีละพจน์ (สมการ 11.7)
(11/3)ln|x−2| − (2/3)ln|x+1| + C
13.6 เศษส่วนย่อย: ตัวประกอบซ้ำและตัวประกอบที่ลดทอนไม่ได้
ตัวประกอบเชิงเส้นซ้ำ (x−r)k ต้องการ k พจน์ คือ A1/(x−r) + A2/(x−r)2 + … + Ak/(x−r)k ตัวประกอบกำลังสองที่ลดทอนไม่ได้ x2+bx+c (ไม่มีรากจริง) ต้องการพจน์ (Bx+C)/(x2+bx+c) ซึ่งปริพันธ์ของมันมักต้องเติมเต็มกำลังสองแล้วใช้รูปแบบอาร์กแทนเจนต์หรือการแทนค่าตรีโกณมิติ (§13.2)
13.7 ตัวอย่างเศษส่วนย่อย
ตัวอย่าง 13.3 — ตัวประกอบซ้ำ
จงหาค่า ∫ x+1x(x−1)2 dx
ขั้นที่ 1 — ตั้งการกระจาย
x+1x(x−1)2 = Ax + Bx−1 + C(x−1)2
ขั้นที่ 2 — กำจัดตัวส่วนแล้วแก้สมการ
x+1 = A(x−1)2 + Bx(x−1) + Cx ที่ x=0: 1=A ที่ x=1: 2=C เทียบสัมประสิทธิ์ x2: 0=A+B ⇒ B=−1
ขั้นที่ 3 — หาปริพันธ์ทีละพจน์
ln|x| − ln|x−1| − 2/(x−1) + C
13.8 ปริพันธ์ไม่ตรงแบบ: ขอบเขตการหาปริพันธ์เป็นอนันต์
ปริพันธ์จำกัดเขต (สัปดาห์ที่ 7) นิยามเฉพาะบนช่วงจำกัด [a,b] การขยายไปยัง ช่วงอนันต์นิยามผลลัพธ์เป็นลิมิต:
ปริพันธ์ไม่ตรงแบบ ลู่เข้า ถ้าลิมิตนี้มีอยู่จริง (เป็นจำนวนจำกัด) และ ลู่ออก ในกรณีอื่น
ตัวอย่าง 13.4 — ขอบเขตการหาปริพันธ์เป็นอนันต์
จงหาค่า ∫1∞ (1/x2) dx
ขั้นที่ 1 — เขียนใหม่เป็นลิมิต (สมการ 13.1)
limb→∞ ∫1b x−2 dx
ขั้นที่ 2 — หาค่าปริพันธ์จำกัดเขตสำหรับ b คงที่
[−x−1]1b = −1/b + 1
ขั้นที่ 3 — หาลิมิตเมื่อ b→∞ (สัปดาห์ที่ 3 §3.8)
limb→∞ (1−1/b) = 1 ปริพันธ์ลู่เข้า 1
13.9 ปริพันธ์ไม่ตรงแบบ: ปริพันธ์ตั้งไม่มีขอบเขต
ถ้า f ไม่มีขอบเขตใกล้จุดปลาย (สมมติ f(x)→±∞ เมื่อ x→b−) ปริพันธ์บน [a,b] นิยามเป็น
ตัวอย่าง 13.5 — ปริพันธ์ตั้งไม่มีขอบเขต
จงหาค่า ∫01 (1/√x) dx
ขั้นที่ 1 — สังเกตว่าปริพันธ์ตั้งไม่มีขอบเขตเมื่อ x→0⁺ เขียนใหม่เป็นลิมิต
limc→0+ ∫c1 x−1/2 dx
ขั้นที่ 2 — หาค่าปริพันธ์จำกัดเขตสำหรับ c คงที่
[2x1/2]c1 = 2 − 2√c
ขั้นที่ 3 — หาลิมิตเมื่อ c→0⁺
limc→0+ (2−2√c) = 2 ปริพันธ์ลู่เข้า 2 แม้ปริพันธ์ตั้งจะเพิ่มขึ้นไม่มีขอบเขตก็ตาม
13.10 การลู่เข้าและการลู่ออก
ไม่ใช่ทุกปริพันธ์ไม่ตรงแบบจะลู่เข้า ตระกูลเปรียบเทียบมาตรฐาน:
เส้นแบ่งที่ p=1 คือ ∫1∞ (1/x)dx ซึ่งลู่ออกเพราะเท่ากับ limb→∞ ln b = ∞ (สัปดาห์ที่ 11 สมการ 11.7) — ลอการิทึมธรรมชาติเพิ่มขึ้นช้าเกินไปจนไม่ลู่เข้า แต่เลขยกกำลัง บวกใด ๆ ที่มากกว่า 1 เพิ่มขึ้นเร็วพอในตัวส่วนพอดี
13.11 ตัวอย่างโจทย์สรุปรวม
ตัวอย่าง 13.6 — การแทนค่าตรีโกณมิติภายในปริพันธ์ไม่ตรงแบบ
จงหาค่า ∫01 dx√(1−x2) โดยสังเกตว่าปริพันธ์ตั้งไม่มีขอบเขตที่ x=1
ขั้นที่ 1 — เขียนใหม่เป็นลิมิต (§13.9)
limc→1− ∫0c dx√(1−x2)
ขั้นที่ 2 — หาปฏิยานุพันธ์โดยใช้การแทนค่าตรีโกณมิติ (§13.2-13.3, a=1)
โดยวิธีของตัวอย่าง 13.1, ∫ dx√(1−x2) = arcsin x + C
ขั้นที่ 3 — ประเมินค่าแล้วหาลิมิต
[arcsin x]0c = arcsin c − 0 เมื่อ c→1−, arcsin c → π/2
ปริพันธ์ลู่เข้า π/2
13.12 สัญลักษณ์ที่ใช้
| สัญลักษณ์ | ความหมาย |
|---|---|
| ปริพันธ์ไม่ตรงแบบ | ปริพันธ์จำกัดเขตที่มีขอบเขตการหาปริพันธ์เป็นอนันต์ หรือปริพันธ์ตั้งไม่มีขอบเขต |
| ลู่เข้า / ลู่ออก | ลิมิตที่นิยามมีอยู่จริง (จำกัด) / ไม่มีอยู่จริงหรือเป็นอนันต์ |
| เศษส่วนย่อย | การกระจายฟังก์ชันตรรกยะเป็นผลรวมของเศษส่วนที่ง่ายกว่า |
| สามเหลี่ยมอ้างอิง | สามเหลี่ยมมุมฉากที่ใช้แปลงคำตอบของการแทนค่าตรีโกณมิติกลับเป็นตัวแปรเดิม |
13.13 แบบฝึกหัด
- การแทนค่าตรีโกณมิติ. จงหาค่า ∫ dx/√(x2+9)
- การแทนค่าตรีโกณมิติ sec. จงหาค่า ∫ dx/(x√(x2−4)) เมื่อ x>2
- เศษส่วนย่อย ตัวประกอบเชิงเส้นแตกต่างกัน. จงหาค่า ∫ (2x+1)/[(x−1)(x+3)] dx
- เศษส่วนย่อย ตัวประกอบซ้ำ. จงหาค่า ∫ 1/[x2(x+1)] dx
- เศษส่วนย่อย ต้องหารยาวก่อน. จงหาค่า ∫ (x2)/(x−1) dx
- ไม่ตรงแบบ ขอบเขตเป็นอนันต์. จงหาค่า ∫0∞ e−x dx
- ไม่ตรงแบบ การลู่ออก. จงแสดงว่า ∫1∞ (1/√x) dx ลู่ออก โดยใช้สมการ 13.3
- ไม่ตรงแบบ ปริพันธ์ตั้งไม่มีขอบเขต. จงหาค่า ∫01 (1/x2) dx แล้วอธิบายว่าทำไมจึงลู่ออกแม้ [0,1] จะมีขอบเขต
- ไม่ตรงแบบทั้งสองจุดปลาย. จงหาค่า ∫−∞∞ e−|x| dx โดยแยกที่ 0
- โจทย์รวม. จงหาค่า ∫2∞ 1/[x(x−1)] dx โดยใช้เศษส่วนย่อยก่อนหาลิมิต
13.14 เอกสารอ้างอิง
- Thomas, G. B., Weir, M. D. and Hass, J. Thomas' Calculus, SI Units, 15th ed. Pearson, 2024. — §8.4 (การแทนค่าตรีโกณมิติ), §8.5 (การหาปริพันธ์ฟังก์ชันตรรกยะด้วยเศษส่วน ย่อย), §8.8 (ปริพันธ์ไม่ตรงแบบ)
- Pearson MyLab Math — การบ้านสัปดาห์ที่ 13 มอบหมายโดยตรงจากหัวข้อข้างต้น ดูวันกำหนดส่งได้ที่ ปฏิทินการเรียน