สัปดาห์ที่ 12: กฎโลปิตาลและเทคนิคการหาปริพันธ์ I

เมื่อสัปดาห์ที่ 11 ให้ลอการิทึมธรรมชาติและฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลมาแล้ว ทั้งชุดเครื่องมือ ลิมิตและชุดเครื่องมือการหาปริพันธ์สามารถขยายได้อย่างมาก สัปดาห์นี้ทำทั้งสองอย่าง

12.1 รูปแบบที่หาค่าไม่ได้

ลิมิตในรูป lim f(x)/g(x) เป็น รูปแบบที่หาค่าไม่ได้ 0/0 หรือ ∞/∞ เมื่อทั้งตัวเศษและตัวส่วนเข้าใกล้ 0 หรือทั้งคู่ เข้าใกล้ ±∞ สัปดาห์ที่ 2 §2.8 จัดการกรณี 0/0 ง่าย ๆ ด้วยการแยกตัวประกอบหรือทำให้เป็น ตรรกยะ กลเม็ดเหล่านั้นไม่มีสำหรับทุกฟังก์ชัน (ลองแยกตัวประกอบ (e^x−1)/x เมื่อ x→0 ดู) จึงต้องการ วิธีทั่วไป

12.2 กฎโลปิตาล

ถ้า f(x)/g(x) เป็น 0/0 หรือ ∞/∞ เมื่อ x→a (หรือ x→±∞) และ f, g หาอนุพันธ์ได้ใกล้ a โดย g′ ≠ 0 ที่นั่น แล้ว

lim_x→a f(x)g(x) = lim_x→a f′(x)g′(x) (12.1)

— โดยมีเงื่อนไขว่าลิมิตทางขวามีอยู่จริง (หรือเป็น ±∞) กฎโลปิตาลสามารถใช้ซ้ำได้ ถ้าอัตราส่วนใหม่ f′/g′ ยังหาค่าไม่ได้อีก

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

กฎโลปิตาลหาอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน — ไม่ใช่กฎผลหาร ห้ามเขียน d/dx[f/g] ในที่นี้เด็ดขาด ให้คำนวณ f′(x) และ g′(x) แยกจากกัน แล้วจึงตั้ง อัตราส่วนใหม่

ตัวอย่าง 12.1 — กฎโลปิตาล 0/0

จงหาค่า lim_x→0 (e^x−1)/x

ขั้นที่ 1 — ยืนยันรูปแบบที่หาค่าไม่ได้

(e⁰−1)/0 = 0/0

ขั้นที่ 2 — หาอนุพันธ์ตัวเศษและตัวส่วนแยกกัน

d/dx[e^x−1] = e^x; d/dx[x] = 1

ขั้นที่ 3 — ใช้สมการ 12.1

lim_x→0 e^x/1 = e⁰ = 1

12.3 ผลคูณและผลต่างที่หาค่าไม่ได้

รูปแบบเช่น 0·∞ หรือ ∞−∞ ไม่ได้ครอบคลุมโดยตรงด้วยสมการ 12.1 แต่การ จัดพีชคณิตใหม่จะเปลี่ยนให้เป็น 0/0 หรือ ∞/∞ ได้ สำหรับผลคูณ f(x)g(x) โดย f→0, g→∞ ให้เขียนใหม่เป็น f/(1/g) (ได้ 0/0) หรือ g/(1/f) (ได้ ∞/∞)

ตัวอย่าง 12.2 — ผลคูณที่หาค่าไม่ได้

จงหาค่า lim_x→0⁺ x ln x

ขั้นที่ 1 — จำรูปแบบแล้วเขียนใหม่

รูปแบบ 0·(−∞) เขียนใหม่เป็น ln x1/x ตอนนี้เป็น −∞/∞

ขั้นที่ 2 — ใช้กฎโลปิตาล

1/x−1/x² = −x

ขั้นที่ 3 — หาลิมิตของนิพจน์ใหม่

lim_x→0⁺ (−x) = 0

12.4 เลขยกกำลังที่หาค่าไม่ได้

รูปแบบ 1^∞, 0⁰, ∞⁰ เกิดจาก y=f(x)^g(x) ให้หาลอการิทึมธรรมชาติ ทั้งสองข้าง ln y = g(x) ln f(x) ซึ่งตอนนี้เป็นผลคูณ 0·∞ (§12.3) หาลิมิตของมัน แล้วยกกำลัง (สัปดาห์ที่ 11 §11.8) เพื่อยกเลิกลอการิทึม

ตัวอย่าง 12.3 — เลขยกกำลังที่หาค่าไม่ได้

จงหาค่า lim_x→0⁺ x^x

ขั้นที่ 1 — หาลอการิทึม

y=x^x ⇒ ln y = x ln x

ขั้นที่ 2 — ลิมิตนี้หาไว้แล้วในตัวอย่าง 12.2

lim_x→0⁺ x ln x = 0 ดังนั้น lim_x→0⁺ ln y = 0

ขั้นที่ 3 — ยกกำลังเพื่อยกเลิกลอการิทึม

lim_x→0⁺ x^x = e⁰ = 1

12.5 สูตรปริพันธ์พื้นฐาน: ตารางรวม

เมื่อมีลอการิทึมธรรมชาติและเอกซ์โพเนนเชียลแล้ว ตารางปฏิยานุพันธ์จากสัปดาห์ที่ 9 §9.5 และ สัปดาห์ที่ 11 §11.6/§11.8 สมบูรณ์พอสำหรับปริพันธ์มูลฐานส่วนใหญ่ Thomas' Calculus §8.1 ส่วนใหญ่เป็นหัวข้อฝึกฝน: การจำแนกว่าปริพันธ์ตรงกับรูปแบบมาตรฐานใด มักหลังจากจัดพีชคณิตเล็กน้อย ก่อนที่จะใช้เทคนิคที่หนักกว่า

ตัวอย่าง 12.4 — จับคู่กับรูปแบบมาตรฐานหลังจัดพีชคณิตใหม่

จงหาค่า ∫ x²+1x dx

ขั้นที่ 1 — แยกเศษส่วนก่อนหาปริพันธ์

x²+1x = x + 1x

ขั้นที่ 2 — หาปริพันธ์ทีละพจน์ (สมการ 9.5a, สมการ 11.7)

x²/2 + ln|x| + C

12.6 การหาปริพันธ์แบบแยกส่วน

การย้อนกลับกฎผลคูณ (สัปดาห์ที่ 4 §4.7), d/dx[uv] = u′v + uv′ หาปริพันธ์ทั้งสองข้างแล้วจัดใหม่:

∫ u dv = uv − ∫ v du (12.2)

ใช้เมื่อปริพันธ์ตั้งเป็นผลคูณของสองตัวประกอบ ตัวหนึ่งง่ายขึ้นเมื่อหาอนุพันธ์ (เลือกเป็น u) และอีกตัวหาปริพันธ์ได้ง่าย (เลือกเป็น dv) เทคนิคช่วยจำ LIATE (ลอการิทึม, ตรีโกณมิติผกผัน, พีชคณิต, ตรีโกณมิติ, เอกซ์โพเนนเชียล) แนะนำลำดับความสำคัญในการเลือก u โดยประมาณจาก “หาปริพันธ์ยากที่สุด” ไปยัง “ง่ายที่สุด”

ตัวอย่าง 12.5 — การหาปริพันธ์แบบแยกส่วน

จงหาค่า ∫ x e^x dx

ขั้นที่ 1 — เลือก u และ dv (LIATE: พีชคณิตก่อนเอกซ์โพเนนเชียล)

u=x, dv=e^xdx ⇒ du=dx, v=e^x

ขั้นที่ 2 — ใช้สมการ 12.2

xe^x − ∫ e^x dx

ขั้นที่ 3 — หาปริพันธ์ที่เหลือ (ง่ายกว่า)

xe^x − e^x + C

12.7 การหาปริพันธ์แบบแยกส่วนซ้ำ

ปริพันธ์บางตัวต้องใช้เทคนิคนี้มากกว่าหนึ่งครั้ง หรือต้องใช้กลเม็ดอ้างอิงตัวเองที่ปริพันธ์เดิม ปรากฏขึ้นอีกครั้งและแก้ได้ด้วยพีชคณิต

ตัวอย่าง 12.6 — กลเม็ดอ้างอิงตัวเอง

จงหาค่า I = ∫ e^x cos x dx

ขั้นที่ 1 — ใช้การแยกส่วนครั้งแรก

u=e^x, dv=cos x dx: I = e^xsin x − ∫ e^x sin x dx

ขั้นที่ 2 — ใช้การแยกส่วนอีกครั้งกับปริพันธ์ที่เหลือ

u=e^x, dv=sin x dx: ∫ e^xsin x dx = −e^xcos x + ∫ e^xcos x dx = −e^xcos x + I

ขั้นที่ 3 — แทนกลับ; I ปรากฏขึ้นอีก จึงแก้ด้วยพีชคณิต

I = e^xsin x − (−e^xcos x + I) = e^xsin x + e^xcos x − I

2I = e^x(sin x+cos x)

I = (1/2)e^x(sin x+cos x) + C

12.8 ปริพันธ์ตรีโกณมิติ: เลขชี้กำลังคี่

สำหรับ ∫ sin^mx cosⁿx dx เมื่อ m หรือ n อย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นเลขคี่: แยกตัวประกอบหนึ่งตัวของฟังก์ชัน เลขชี้กำลังคี่ออกมา แปลงส่วนที่เหลือด้วย sin²+cos²=1 (สัปดาห์ที่ 1 สมการ 1.8) แล้วแทนค่า (สัปดาห์ที่ 9 §9.6) โดยใช้ตัวประกอบเดี่ยวที่เหลือ

ตัวอย่าง 12.7 — เลขชี้กำลังคี่ของไซน์

จงหาค่า ∫ sin³x dx

ขั้นที่ 1 — แยกตัวประกอบไซน์หนึ่งตัวแล้วแปลงส่วนที่เหลือ

sin³x = sin²x sin x = (1−cos²x) sin x

ขั้นที่ 2 — แทนค่า u=cos x

du=−sin x dx: ∫ (1−u²)(−du) = ∫ (u²−1) du

ขั้นที่ 3 — หาปริพันธ์แล้วแทนกลับ

u³/3 − u + C = cos³x/3 − cos x + C

12.9 ปริพันธ์ตรีโกณมิติ: เลขชี้กำลังคู่

เมื่อทั้ง m และ n เป็นเลขคู่ ไม่มีตัวประกอบเดี่ยวใดแยกออกได้ ต้องใช้เอกลักษณ์ มุมครึ่งแทน

sin²x = (1−cos 2x)/2 (12.3a)

cos²x = (1+cos 2x)/2 (12.3b)

เพื่อเขียนปริพันธ์ตั้งใหม่ที่เลขชี้กำลังครึ่งหนึ่งของเดิม แลกปริพันธ์ยากตัวหนึ่งเป็นปริพันธ์ที่ จัดการได้ง่ายกว่า ซึ่งอาจต้องใช้เอกลักษณ์นี้อีกครั้ง

ตัวอย่าง 12.8 — เลขชี้กำลังคู่ของไซน์

จงหาค่า ∫ sin²x dx

ขั้นที่ 1 — ใช้สมการ 12.3a

∫ 1−cos 2x2 dx

ขั้นที่ 2 — หาปริพันธ์ทีละพจน์

x/2 − sin(2x)/4 + C

12.10 ตัวอย่างโจทย์สรุปรวม

ตัวอย่าง 12.9 — การหาปริพันธ์แบบแยกส่วนกับลอการิทึม

จงหาค่า ∫₁^e ln x dx รวมลอการิทึมจากสัปดาห์ที่ 11 เข้ากับเทคนิคสัปดาห์นี้

ขั้นที่ 1 — เลือก u และ dv (LIATE: ลอการิทึมก่อน)

u=ln x, dv=dx ⇒ du=(1/x)dx, v=x

ขั้นที่ 2 — ใช้สมการ 12.2

x ln x − ∫ x·(1/x) dx = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C

ขั้นที่ 3 — ประเมินค่าเป็นปริพันธ์จำกัดเขต (ทฤษฎีบทหลักมูลส่วนที่ 2 สัปดาห์ที่ 9)

[x ln x − x]₁^e = (e·1 − e) − (0 − 1)

= 0 − (−1) = 1

12.11 สัญลักษณ์ที่ใช้

สัญลักษณ์	ความหมาย
รูปแบบที่หาค่าไม่ได้	นิพจน์ลิมิตเช่น 0/0 หรือ ∞/∞ ที่ไม่ให้ข้อมูลจนกว่าจะแก้ไข
LIATE	ลำดับความสำคัญในการเลือก u สำหรับการหาปริพันธ์แบบแยกส่วน: ลอการิทึม, ตรีโกณมิติผกผัน, พีชคณิต, ตรีโกณมิติ, เอกซ์โพเนนเชียล
`u`, `dv`	สองส่วนที่เลือกเมื่อใช้การหาปริพันธ์แบบแยกส่วน

12.12 แบบฝึกหัด

กฎโลปิตาล 0/0. จงหาค่า lim_x→0 (sin x)/x แล้วเทียบกับลิมิตพิเศษที่ใช้ในสัปดาห์ที่ 4
กฎโลปิตาล ∞/∞. จงหาค่า lim_x→∞ (ln x)/x
กฎโลปิตาลซ้ำ. จงหาค่า lim_x→0 (x−sin x)/x³
ผลคูณที่หาค่าไม่ได้. จงหาค่า lim_x→∞ x sin(1/x)
เลขยกกำลังที่หาค่าไม่ได้. จงหาค่า lim_x→∞ (1+1/x)^x
การหาปริพันธ์แบบแยกส่วน. จงหาค่า ∫ x cos x dx
การหาปริพันธ์แบบแยกส่วนสองครั้ง. จงหาค่า ∫ x²e^x dx
เลขชี้กำลังคี่. จงหาค่า ∫ cos³x dx
เลขชี้กำลังคู่. จงหาค่า ∫ cos²x dx
โจทย์รวม. จงหาค่า ∫ sin²x cos³x dx (เลขชี้กำลังหนึ่งคี่ หนึ่งคู่ — ใช้วิธีจาก §12.8)

12.13 เอกสารอ้างอิง

Thomas, G. B., Weir, M. D. and Hass, J. Thomas' Calculus, SI Units, 15th ed. Pearson, 2024. — §7.5 (รูปแบบที่หาค่าไม่ได้และกฎโลปิตาล), §8.1 (การใช้สูตรปริพันธ์พื้นฐาน), §8.2 (การหาปริพันธ์แบบแยกส่วน), §8.3 (ปริพันธ์ตรีโกณมิติ)
Pearson MyLab Math — การบ้านสัปดาห์ที่ 12 มอบหมายโดยตรงจากหัวข้อข้างต้น ดูวันกำหนดส่งได้ที่ ปฏิทินการเรียน

← สัปดาห์ที่ 11: งาน ฟังก์ชันผกผัน และฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล แบบทดสอบทบทวนสัปดาห์ที่ 12 →