อัตราการเปลี่ยนแปลงและลิมิต

สัปดาห์ที่ 1 ให้ฟังก์ชันไว้ใช้งาน สัปดาห์นี้ถามว่าผลลัพธ์ของฟังก์ชันเข้าใกล้ตัวเลขหนึ่ง หมายความว่าอย่างไร เมื่ออินพุตเข้าใกล้อีกตัวเลขหนึ่ง — แนวคิดเดียวที่อนุพันธ์ (สัปดาห์ที่ 4) ปริพันธ์ (สัปดาห์ที่ 7) และทฤษฎีอนุกรมทั้งหมด (สัปดาห์ที่ 14–16) ล้วนสร้างขึ้นมาจากมัน

2.1 สองปัญหา หนึ่งแนวคิด

สองคำถามขับเคลื่อนสัปดาห์นี้ และ Thomas' Calculus เริ่มต้นด้วยคำถามทั้งสองด้วยเหตุผล: ทั้งคู่ กลายเป็นคำถามเดียวกันที่แฝงตัวมาในรูปแบบต่างกัน

• ปัญหาเส้นสัมผัส. กำหนดเส้นโค้งและจุดหนึ่งบนเส้นโค้ง ความชันของเส้นตรงที่สัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดนั้นพอดีคือเท่าใด ความชันปกติต้องการสองจุด แต่เส้นสัมผัสถูกนิยามด้วยจุดเดียว
• ปัญหาอัตราขณะหนึ่ง. กำหนดปริมาณที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา มันเปลี่ยนแปลงเร็วแค่ไหน ณ ขณะเดียว พอดี อัตราการเปลี่ยนแปลงปกติต้องการช่วงเวลา แต่ขณะหนึ่งคือจุดเดียวในเวลา

ทั้งสองปัญหาถามหาข้อมูล ณ จุดเดียวโดยใช้สูตรที่โดยพื้นฐานแล้วต้องการสองจุด วิธีแก้ปัญหาเหมือนกันทั้ง สองกรณี: คำนวณสูตรแบบสองจุดบนช่วงเล็ก ๆ แล้วถามว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อช่วงนั้นหดเล็กลงจนเหลือศูนย์ คำถามนั้น — “เกิดอะไรขึ้นเมื่อบางสิ่งหดเล็กลงจนเหลือศูนย์” — คือ ลิมิต

2.2 อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยและเส้นตัด

สำหรับฟังก์ชัน y = f(x) อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย บนช่วง [x₁, x₂] คือ

ในเชิงเรขาคณิต นี่คือความชันของ เส้นตัด (secant line) — เส้นตรงที่ผ่านสองจุด (x₁, f(x₁)) และ (x₂, f(x₂)) บนกราฟ เป็นคำตอบที่ดีสำหรับคำถาม “y เปลี่ยนแปลงเร็วแค่ไหนโดยเฉลี่ยระหว่างสองจุดนี้” — แต่ไม่ได้บอกอะไรเลย เกี่ยวกับอัตราขณะใดขณะหนึ่งภายในช่วงนั้น

2.3 ปัญหาเส้นสัมผัส

เพื่อหาความชันณจุดเดียว a แทนที่จะเป็นระหว่างสองจุด ให้ตรึง x₁ = a และให้จุดที่สองเป็น a + h สำหรับตัวเลข h เล็ก ๆ ความชันเส้นตัดผ่านสองจุดนี้คือ

นี่คือสมการ 2.1 นั่นเอง เพียงเปลี่ยนชื่อ x₂ − x₁ เป็น h เมื่อ h หดเข้าใกล้ 0 จุดที่สองจะเลื่อนไปตามเส้นโค้งกลับเข้าหา a และเส้นตัดจะหมุนเข้าหาเส้นสัมผัสที่ a ความชันของเส้นสัมผัสจึงเป็น

2.4 บทนิยามลิมิตแบบไม่เป็นทางการ

เรากล่าวว่า

— อ่านว่า “ลิมิตของ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ a เท่ากับ L” — ถ้าค่าของ f(x) เข้าใกล้ L ได้มาก เท่าที่ต้องการ เมื่อ x เข้าใกล้ a จากทั้งสองด้าน โดยไม่จำเป็นต้องใช้ x = a เลย มีสามประเด็นที่พลาดง่ายในครั้งแรก:

• ลิมิตอธิบายพฤติกรรมใกล้ a ไม่ใช่ที่ a มันมีอยู่ได้แม้ f(a) จะไม่นิยาม และอาจต่างจาก f(a) ได้แม้ทั้งสองค่า จะมีอยู่
• “เข้าใกล้ได้มากเท่าที่ต้องการ” ต้องเป็นจริงจากทั้งสองทิศทาง — การเข้าใกล้ตาม x < a และตาม x > a ต้องให้ค่าเป้าหมาย L เดียวกัน สัปดาห์ที่ 3 จะตั้งชื่อลิมิตด้านเดียวเหล่านี้อย่างชัดเจน
• ลิมิตคือตัวเลข L ตัวเดียวที่เสนอขึ้นมา แล้วตรวจสอบกับพฤติกรรมของฟังก์ชัน — ไม่ได้คำนวณด้วยการ “แทนค่า x ที่ต่างไปเล็กน้อย” แม้ว่าวิธีนั้นจะเป็นวิธีที่ดีในการเดา ก่อนพิสูจน์จริง

2.5 เมื่อลิมิตไม่มีอยู่จริง

ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันจะมีลิมิตทุกจุด สามกรณีทั่วไปที่ลิมิตไม่มีอยู่จริง:

กรณีแรกจะแก้ไขได้อย่างแม่นยำเมื่อสัปดาห์ที่ 3 นิยามลิมิตด้านเดียว: ลิมิตด้านซ้ายและด้านขวาต่างก็มี อยู่จริงในกรณีนี้ เพียงแต่ไม่เท่ากัน ลิมิตสองด้านจึงไม่มีอยู่จริง อีกสองกรณีต้องใช้ภาษาของลิมิตที่อนันต์ ซึ่งอยู่ในสัปดาห์ที่ 3 เช่นกัน

2.6 กฎของลิมิต

ถ้า lim_x→a f(x) = L และ lim_x→a g(x) = M โดยทั้งสองลิมิตมีอยู่จริง แล้ว:

ลิมิตสองข้อที่ใช้บ่อยเป็นจุดเริ่มต้น พิสูจน์ได้โดยตรงจากบทนิยาม:

2.7 การหาลิมิตด้วยการแทนค่าโดยตรง

การใช้กฎของลิมิตซ้ำ ๆ กับพหุนามหรือฟังก์ชันตรรกยะแสดงให้เห็นว่าลิมิตที่ a หาได้ง่าย ๆ ด้วยการแทนค่า x = a ตราบใดที่ผลลัพธ์ไม่ใช่นิพจน์ที่ไม่นิยาม:

2.8 การกำจัดรูปแบบที่หาค่าไม่ได้ 0/0

การแทนค่าโดยตรงล้มเหลวเมื่อได้นิพจน์ที่ไม่มีความหมาย 0/0 เรียกว่า รูปแบบที่หาค่าไม่ได้ สิ่งนี้ไม่ได้หมายความว่าลิมิตไม่มีอยู่จริง แต่หมายความว่าการแทนค่าตอบคำถามไม่ได้ ต้องจัดรูปพีชคณิตก่อน สองเทคนิคที่ครอบคลุมเกือบทุกกรณีในวิชานี้คือ การแยกตัวประกอบ และ การทำให้เป็นตรรกยะ

2.9 ทฤษฎีบทการบีบ

บางครั้งทั้งการแยกตัวประกอบและการทำให้เป็นตรรกยะใช้ไม่ได้ — เพราะฟังก์ชันที่ต้องการขอบเขต เป็นฟังก์ชันอดิศัย ถ้า g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) สำหรับทุก x ใกล้ a (ยกเว้นอาจจะที่ a เอง) และ

แล้ว lim_x→a f(x) = L ด้วยเช่นกัน ถ้า f ถูกบีบอยู่ระหว่างสองฟังก์ชันที่ลู่เข้า L ทั้งคู่ มันจึงไม่มีที่ว่างเหลือให้ลู่เข้าไปยังค่าอื่น

2.10 บทนิยามที่แม่นยำของลิมิต (ไม่ออกสอบ)

วลี “f(x) เข้าใกล้ L ได้มากเท่าที่ต้องการ” ทำให้แม่นยำ โดยกำหนดว่า f(x) สามารถถูกบังคับให้อยู่ภายในค่าคลาดเคลื่อนที่ยอมรับได้ ε > 0 ใด ๆ จาก L ได้ เพียงแค่ทำให้ x อยู่ใกล้พอ — ภายในระยะ δ — จาก a:

ค่าสัมบูรณ์ทั้งสองคือการตีความเป็นระยะห่างจากสัปดาห์ที่ 1 §1.3: |x−a| คือระยะห่างของ x จาก a และ |f(x)−L| คือ ระยะห่างของผลลัพธ์จากลิมิตที่อ้างไว้ บทนิยามนี้กล่าวว่า: คุณระบุว่าต้องการให้ผลลัพธ์ใกล้ L แค่ไหน (ε) และพฤติกรรมของฟังก์ชันต้องทำให้ใครสักคนหาค่าคลาดเคลื่อนของ อินพุตที่สอดคล้องกัน (δ) ที่รับประกันสิ่งนั้นได้เสมอ — ไม่ว่าจะเรียกร้องค่าคลาดเคลื่อนเล็ก แค่ไหนก็ตาม

2.11 ตัวอย่างโจทย์สรุปรวม

2.12 สัญลักษณ์ที่ใช้

2.13 แบบฝึกหัด

1. อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย. สำหรับ f(x) = x² + 1 จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยบนช่วง [2, 5]
2. จากเส้นตัดสู่เส้นสัมผัส. สำหรับ f(x) = x² จงเขียนสูตรความชันเส้นตัด (สมการ 2.2) ที่ a = 3 ทำให้ง่ายที่สุดโดยยังไม่ให้ h → 0 แล้วบอกว่ามันเข้าใกล้ค่าใดเมื่อ h → 0
3. การอ่านข้อความลิมิต. จงอธิบายด้วยคำพูดของตนเองว่าทำไม lim_x→2 f(x) จึงอาจเท่ากับ 5 ได้แม้ f(2) = 7 หรือแม้ f(2) จะไม่นิยาม
4. ลิมิตที่ไม่มีอยู่จริง. จงร่างกราฟ f(x) = x/|x| และอธิบายว่าทำไม lim_x→0 f(x) จึงไม่มีอยู่จริง
5. การแทนค่าโดยตรง. จงหาค่า lim_x→−1 (2x³ − x + 4)
6. การแยกตัวประกอบ. จงหาค่า lim_x→2 (x²−4)/(x−2)
7. การแยกตัวประกอบ ยากขึ้น. จงหาค่า lim_x→−3 (x²+x−6)/(x+3)
8. การทำให้เป็นตรรกยะ. จงหาค่า lim_x→0 (√(x+9) − 3)/x
9. การทำให้เป็นตรรกยะ ยากขึ้น. จงหาค่า lim_h→0 (√(1+h) − 1)/h
10. ทฤษฎีบทการบีบ. จงหาค่า lim_x→0 x⁴ cos(1/x²) พร้อมระบุฟังก์ชันขอบเขตสองตัวที่ใช้
11. โจทย์รวม. จงหาค่า lim_x→4 (x−4)/(√x−2) และระบุว่าใช้เทคนิคใดจาก §2.8
12. ε–δ ไม่ออกสอบ. สำหรับ f(x) = 2x+1 และ ข้อกล่าวอ้าง lim_x→3 f(x) = 7 จงหาค่า δ ที่ใช้ได้สำหรับ ε = 0.1
13. ความชันเส้นสัมผัสจากบทนิยามลิมิต. ใช้สมการ 2.3 จงหาความชันของเส้นสัมผัสของ f(x) = x² + 1 ที่ a = 3

2.14 เอกสารอ้างอิง

• Thomas, G. B., Weir, M. D. and Hass, J. Thomas' Calculus, SI Units, 15th ed. Pearson, 2024. — §2.1 (อัตราการเปลี่ยนแปลงและเส้นสัมผัส), §2.2 (ลิมิตของฟังก์ชันและกฎของ ลิมิต), §2.3 (บทนิยามที่แม่นยำของลิมิต ไม่ออกสอบในภาคการศึกษานี้)
• Pearson MyLab Math — การบ้านสัปดาห์ที่ 2 มอบหมายโดยตรงจากหัวข้อข้างต้น ดูวันกำหนดส่งได้ที่ ปฏิทินการเรียน