EN TH
ตัวอย่างโจทย์

01006030 | สัปดาห์ที่ 10 | เอกสารประกอบการสอน

ปริมาตร ความยาวส่วนโค้ง และพื้นที่ผิว

แนวคิดพื้นที่ระหว่างเส้นโค้งจากสัปดาห์ที่ 9 ที่ขยายให้กว้างขึ้น: การหั่นทรงตันเป็น ชิ้นบาง ๆ การห่อด้วยเปลือกบาง ๆ และการวัดความยาวที่แท้จริงของเส้นโค้งหรือพื้นที่ที่มันกวาดผ่านเมื่อ หมุนรอบแกน — กลยุทธ์ “ประมาณแล้วหาปริพันธ์” เดียวกันจากสัปดาห์ที่ 7

ทุกสูตรในสัปดาห์นี้ทำตามรูปแบบสามขั้นตอนเดียวกับที่วางไว้สำหรับพื้นที่ในสัปดาห์ที่ 7: ตัดวัตถุเป็นชิ้นบาง ๆ ที่เรียบง่าย เขียนปริมาตร ความยาว หรือพื้นที่ของชิ้นตัวอย่างหนึ่งชิ้น แล้วปล่อย ให้ความหนาของชิ้นหดเหลือศูนย์และหาปริพันธ์

10.1 ปริมาตรโดยหน้าตัด

ถ้าพื้นที่หน้าตัด A(x) ของทรงตัน ซึ่งตั้งฉากกับแกน x รู้ค่าสำหรับ ทุก x ใน [a,b] การหั่นทรงตันเป็นแผ่นบาง ๆ ความหนา dx แล้วรวมเข้าด้วยกัน (คือแนวคิดผลรวมรีมันน์จากสัปดาห์ที่ 7 พอดี) จะได้

V = ∫ab A(x) dx (10.1)

นี่คือสูตรหลักที่อยู่เบื้องหลังทุกอย่างในสัปดาห์นี้ — สูตรปริมาตรอื่น ๆ ทุกสูตรเป็นกรณีพิเศษ ที่ได้จากการเขียน A(x) สำหรับรูปทรงเฉพาะ

10.2 ทรงตันจากการหมุน: วิธีจาน

การหมุนบริเวณใต้ y=f(x) ≥ 0 บน [a,b] รอบแกน x จะให้ทรงตันที่มีหน้าตัดที่ x เป็นจานรัศมี f(x) ดังนั้น A(x) = π[f(x)]2:

V = π∫ab [f(x)]2 dx (10.2)

ตัวอย่าง 10.1 — วิธีจาน

จงหาปริมาตรที่เกิดจากการหมุน y=√x, [0,4] รอบแกน x

ขั้นที่ 1 — ใช้สมการ 10.2

V = π∫04 (√x)2 dx = π∫04 x dx

ขั้นที่ 2 — ประเมินค่า

π[x2/2]04 = π(8−0)

V = 8π

10.3 วิธีวงแหวน

เมื่อบริเวณที่หมุนอยู่ระหว่างเส้นโค้งสองเส้น f(x) ≥ g(x) ≥ 0 หน้าตัดเป็นวงแหวน (จานที่มีรู):

V = π∫ab {[f(x)]2 − [g(x)]2} dx (10.3)
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

พื้นที่วงแหวนคือ π(R2−r2) ไม่ใช่ π(R−r)2 ต้องยกกำลังสองรัศมีนอกและรัศมีในแยกกัน ก่อนลบกัน — เป็นกับดักเดียวกับ (a+b)2 ≠ a2+b2

10.4 ปริมาตรโดยเปลือกทรงกระบอก

แทนที่จะหั่นตั้งฉากกับแกนหมุน วิธีเปลือก (shell method) รวมเปลือกทรงกระบอกบาง ๆ ที่ขนานกับ แกนหมุน การหมุนบริเวณใต้ y=f(x) ≥ 0 บน [a,b] (โดย 0 ≤ a) รอบแกน y แต่ละเปลือกที่ตำแหน่ง x มีรัศมี x ความสูง f(x) และความหนา dx ให้พื้นที่ผิว 2πxf(x) คูณความหนา:

V = 2π∫ab x f(x) dx (10.4)

ตัวอย่าง 10.2 — วิธีเปลือก

จงหาปริมาตรที่เกิดจากการหมุนบริเวณใต้ y=x2, [0,2] รอบแกน y

ขั้นที่ 1 — ใช้สมการ 10.4

V = 2π∫02 x·x2 dx = 2π∫02 x3 dx

ขั้นที่ 2 — ประเมินค่า

2π[x4/4]02 = 2π(4−0)

V = 8π

10.5 เลือกระหว่างจาน/วงแหวน กับเปลือกทรงกระบอก

ทั้งสองวิธีเป็นสูตรหลักเดียวกัน (สมการ 10.1) ที่แฝงตัวมา หั่นในทิศทางตั้งฉากกัน — ทั้งสองให้ ผลตรงกันเสมอเมื่อใช้ได้ทั้งคู่ การเลือกใช้จริงขึ้นอยู่กับว่าทิศทางการหั่นแบบใดให้หน้าตัดที่อธิบายได้ ด้วยสูตรเดียวที่ง่าย:

10.6 ความยาวส่วนโค้ง

ประมาณเส้นโค้ง y=f(x) ด้วยส่วนของเส้นตรงสั้น ๆ ระหว่างจุดที่ใกล้กัน โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส แต่ละส่วนมีความยาว √(Δx2+Δy2) = √(1+(Δy/Δx)2) Δx การรวมและหา ลิมิตเมื่อส่วนเหล่านั้นหดเล็กลง (โดย Δy/Δx กลายเป็น f′(x) เหมือนในสัปดาห์ที่ 2) จะได้ ความยาวส่วนโค้ง:

L = ∫ab √(1+[f′(x)]2) dx (10.5)

ตัวอย่าง 10.3 — ความยาวส่วนโค้ง

จงหาความยาวของ y = (2/3)x3/2 จาก x=0 ถึง x=3

ขั้นที่ 1 — หา f' และตั้งปริพันธ์ตั้ง

f′(x) = x1/2 ดังนั้น 1+[f′(x)]2 = 1+x

ขั้นที่ 2 — ใช้สมการ 10.5

L = ∫03 √(1+x) dx

ขั้นที่ 3 — แทนค่า u=1+x (สัปดาห์ที่ 9 §9.6) แล้วประเมินค่า

u=1+x, du=dx; ขอบเขตเปลี่ยนเป็น 1 ถึง 4

∫14 u1/2 du = (2/3)[u3/2]14 = (2/3)(8−1)

L = 14/3

10.7 พื้นที่ผิวของรูปทรงที่เกิดจากการหมุน

การหมุนเส้นโค้ง y=f(x) ≥ 0 รอบแกน x จะกวาดพื้นผิวออกมา ชิ้นความยาวส่วนโค้งสั้น ๆ แต่ละชิ้นยาว ds = √(1+[f′(x)]2) dx กวาดแถบบาง ๆ ของกรวยที่มีรัศมี f(x) และความสูงเอียง ds ให้พื้นที่ 2πf(x) ds:

S = 2π∫ab f(x) √(1+[f′(x)]2) dx (10.6)

สังเกตว่าปริพันธ์ตั้งของความยาวส่วนโค้งจาก §10.6 กลับมาปรากฏในสูตรนี้ — พื้นที่ผิวคือ ความยาวส่วนโค้งถ่วงน้ำหนักด้วยระยะทางที่เดินทางรอบแกน (2π คูณรัศมี) เป็นตรรกะ “ระยะทางคูณ ความยาว” เดียวกับวิธีเปลือกใน §10.4

10.8 ตัวอย่างโจทย์สรุปรวม

ตัวอย่าง 10.4 — พื้นที่ผิวของทรงกลม

ใช้สมการ 10.6 หาพื้นที่ผิวของทรงกลมรัศมี r โดยหมุน y=√(r2−x2) รอบแกน x, [−r,r]

ขั้นที่ 1 — หา f' และปริพันธ์ตั้งของความยาวส่วนโค้ง (§10.6)

f′(x) = −x/√(r2−x2) ดังนั้น 1+[f′(x)]2 = 1 + x2/(r2−x2) = r2/(r2−x2)

ขั้นที่ 2 — ทำให้ปริพันธ์ตั้งของพื้นผิวง่ายขึ้น (§10.7)

√(1+[f′]2) = r/√(r2−x2) = r/f(x) ดังนั้น f(x)·√(1+[f′]2) = r — ค่าคงที่ ไม่ขึ้นกับ x

ขั้นที่ 3 — ใช้สมการ 10.6

S = 2π∫−rr r dx = 2πr·(2r)

S = 4πr2 — สูตรพื้นที่ผิวทรงกลมที่คุ้นเคย ที่ได้จากการพิสูจน์ ไม่ใช่การสมมติ

10.9 สัญลักษณ์ที่ใช้

สัญลักษณ์ความหมาย
A(x)พื้นที่หน้าตัดที่ตำแหน่ง x
วิธีจาน/วงแหวนการหั่นตั้งฉากกับแกนหมุน
วิธีเปลือกการหั่นขนานกับแกนหมุน เป็นทรงกระบอกบาง ๆ
Lความยาวส่วนโค้ง
dsชิ้นส่วนความยาวส่วนโค้งที่เล็กจิ๋ว
Sพื้นที่ผิวของรูปทรงที่เกิดจากการหมุน

10.10 แบบฝึกหัด

  1. หน้าตัด. ทรงตันหนึ่งมีฐานเป็นบริเวณระหว่าง y=x2 และ y=4 และหน้าตัดที่ตั้งฉากกับแกน x เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส จงหาปริมาตรของมัน
  2. วิธีจาน. จงหาปริมาตรที่เกิดจากการหมุน y=x2, [0,2] รอบแกน x
  3. วิธีวงแหวน. จงหาปริมาตรที่เกิดจากการหมุนบริเวณระหว่าง y=x และ y=x2, [0,1] รอบแกน x
  4. วิธีเปลือก. จงหาปริมาตรที่เกิดจากการหมุนบริเวณใต้ y=√x, [0,4] รอบแกน y
  5. การเลือกวิธี. จงตั้งปริพันธ์ (ไม่ต้องหาค่า) สำหรับปริมาตรที่เกิดจากการหมุน y=x3, [0,1] รอบแกน y โดยใช้วิธีเปลือก แล้วอธิบายว่า ทำไมวิธีเปลือกจึงสะดวกกว่าวิธีวงแหวนในกรณีนี้
  6. ความยาวส่วนโค้ง. จงหาความยาวของ y = (1/3)(x2+2)3/2 จาก x=0 ถึง x=3
  7. ความยาวส่วนโค้ง ตรวจสอบด้วยเส้นตรง. ใช้สมการ 10.5 หาความยาวของส่วนของเส้นตรง y=2x+1 จาก x=0 ถึง x=3 แล้วยืนยันว่าตรงกับสูตรระยะทาง
  8. พื้นที่ผิวจากการหมุน. จงหาพื้นที่ของพื้นผิวที่เกิดจากการหมุน y=√x, [1,4] รอบแกน x
  9. โจทย์รวม. จงหาปริมาตรและปริพันธ์ตั้งของความยาวส่วนโค้งที่จำเป็นในการหาพื้นที่ผิวของการหมุน y=x3/3, [0,1] รอบแกน x (ตั้งปริพันธ์ทั้งสองตัว การหาค่า ปริพันธ์พื้นที่ผิวเป็นทางเลือก)

10.11 เอกสารอ้างอิง

← สัปดาห์ที่ 9: ทฤษฎีบทหลักมูลและการแทนค่า แบบทดสอบทบทวนสัปดาห์ที่ 10 →