ฟังก์ชัน กราฟ และตรีโกณมิติ

ทุกสัปดาห์ถัดจากนี้ใช้ภาษาที่วางไว้ในสัปดาห์นี้ ลิมิตคือข้อความที่พูดถึงค่าของฟังก์ชัน อนุพันธ์ถูกนิยามเป็นลิมิตของฟังก์ชันที่สร้างจากการรวมและแปลงฟังก์ชันอื่น ๆ และตัวอย่างมาตรฐานเกือบครึ่ง หนึ่งในทุกบทของวิชานี้เป็นตัวอย่างตรีโกณมิติ เวลาที่ใช้ในสัปดาห์นี้จึงไม่ใช่การทบทวนเพื่อความสบายใจ แต่เป็นคำศัพท์ที่เนื้อหาส่วนที่เหลือของวิชาสมมติว่าคุณมีอยู่แล้ว

1.1 ทำไมต้องเริ่มที่ฟังก์ชัน

แคลคูลัสตอบคำถามสองข้อ: ขณะนี้สิ่งหนึ่งเปลี่ยนแปลงเร็วแค่ไหน (อนุพันธ์) และมีปริมาณสะสมเท่าไรตลอด ช่วงหนึ่ง (ปริพันธ์) ทั้งสองคำถามจะไม่มีความหมายจนกว่าเราจะบอกได้อย่างชัดเจนว่า “สิ่งหนึ่ง” นั้นคืออะไร — กฎที่กำหนดผลลัพธ์หนึ่งค่าให้กับอินพุตแต่ละตัว กฎนี้เรียกว่า ฟังก์ชัน และทุกอย่างในวิชานี้เป็นข้อความที่พูดถึงฟังก์ชัน: ลิมิตของฟังก์ชัน อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ปริพันธ์ของฟังก์ชัน และการกระจายเป็นอนุกรมของฟังก์ชัน

สัปดาห์นี้แบ่งเป็นสองช่วง ช่วงแรก (§1.2–1.9 ด้านล่าง) พูดถึงฟังก์ชันโดยทั่วไป: ฟังก์ชันคือ อะไร สร้างฟังก์ชันใหม่จากฟังก์ชันเดิมได้อย่างไร และกราฟเคลื่อนที่อย่างไรเมื่อเลื่อนหรือยืดหด ช่วงที่สอง (§1.10–1.13) มุ่งเน้นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ซึ่งปรากฏในตัวอย่างเกือบทุกบทตลอดภาค การศึกษา ปิดท้ายด้วยการแวะพูดถึงอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์อย่างสั้น ๆ ซึ่งไม่ออกสอบ แต่มีประโยชน์เมื่อต้อง อ่านบทพิสูจน์ในบทถัดไป

1.2 ฟังก์ชันคืออะไร

ฟังก์ชัน f จากเซต D ไปยังเซต Y คือกฎที่กำหนดสมาชิกเพียงหนึ่งตัว f(x) ∈ Y ให้กับสมาชิกแต่ละตัว x ∈ D เซต D เรียกว่า โดเมน ส่วนเซตของค่าผลลัพธ์ทั้งหมดที่เกิดขึ้นจริงเรียกว่า พิสัย (เรนจ์) ตัวแปร x เรียกว่า ตัวแปรอิสระ และ y = f(x) เรียกว่า ตัวแปรตาม

หากไม่ได้ระบุโดเมนไว้อย่างชัดเจน โดเมนธรรมชาติ ของฟังก์ชันที่กำหนดด้วยสูตรคือเซตที่ใหญ่ที่สุด ของจำนวนจริง x ที่ทำให้สูตรได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนจริง มีข้อจำกัดสองอย่างที่ครอบคลุมการหาโดเมน ธรรมชาติเกือบทั้งหมดในวิชานี้:

• หารด้วยศูนย์ไม่ได้ ดังนั้น x ใดที่ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์จะถูกตัดออก
• หารากที่คู่ (เช่น รากที่สอง) ของจำนวนลบไม่ได้ในระบบจำนวนจริง ดังนั้นนิพจน์ใต้เครื่องหมายรากที่คู่ ต้อง ≥ 0

เส้นโค้งในระนาบ xy จะเป็นกราฟของฟังก์ชันของ x ก็ต่อเมื่อเส้นตรงแนวดิ่งทุกเส้น ตัดเส้นโค้งนั้นอย่างมากที่สุดหนึ่งจุด — เรียกว่า การทดสอบเส้นตรงในแนวดิ่ง ซึ่งเป็นเพียง การกล่าวซ้ำบทนิยามด้วยคำอื่น: หากเส้นตรงแนวดิ่ง x = a ตัดเส้นโค้งสองจุด กฎนั้น จะต้องกำหนดผลลัพธ์สองค่าให้กับอินพุตเดียวคือ a ซึ่งฟังก์ชันทำเช่นนั้นไม่ได้ วงกลมจึงไม่ผ่าน การทดสอบนี้และไม่ใช่กราฟของฟังก์ชันของ x แม้ว่าครึ่งบนและครึ่งล่างของวงกลมแยกกันจะเป็น กราฟของฟังก์ชันก็ตาม

1.3 ฟังก์ชันเป็นช่วงและฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์

ฟังก์ชันบางตัวถูกนิยามด้วยสูตรต่างกันในแต่ละส่วนของโดเมน ฟังก์ชันแบบนี้เรียกว่า ฟังก์ชันเป็นช่วง (piecewise) และไม่ใช่เรื่องแปลกใหม่ — ค่าสัมบูรณ์ ซึ่งเป็นฟังก์ชันเป็นช่วง ที่มีประโยชน์ที่สุดในวิชานี้ ก็เป็นหนึ่งในนั้น:

ในเชิงเรขาคณิต |x| คือระยะห่างจาก x ถึง 0 บนเส้นจำนวน และโดยทั่วไป |a − b| คือระยะห่างระหว่าง a กับ b การตีความเป็น ระยะห่างนี้จำเป็นมากในสัปดาห์ที่ 2 เมื่อต้องทำความเข้าใจบทนิยามที่แม่นยำของลิมิต ซึ่งข้อความอย่าง |x − a| < δ หมายความว่า “x อยู่ใกล้ a ในระยะไม่เกิน δ”

1.4 ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด ฟังก์ชันคู่ และฟังก์ชันคี่

ฟังก์ชัน f เป็น ฟังก์ชันเพิ่ม บนช่วง I ถ้า x₁ < x₂ ใน I ทำให้ f(x₁) < f(x₂) เสมอ และเป็น ฟังก์ชันลด ถ้าทำให้ f(x₁) > f(x₂) เสมอ นี่คือคำว่า “กราฟขึ้น” และ “กราฟลง” ที่พูดกันทั่วไป แต่เขียนให้แม่นยำพอจะพิสูจน์ได้ — และแม่นยำพอที่สัปดาห์ที่ 6 จะสามารถระบุลักษณะเหล่านี้ได้อย่างชัดเจนด้วยเครื่องหมายของอนุพันธ์

ฟังก์ชันเป็น ฟังก์ชันคู่ ถ้า f(−x) = f(x) สำหรับทุก x ในโดเมน และเป็น ฟังก์ชันคี่ ถ้า f(−x) = −f(x) ควรตรวจสอบสมมาตรก่อนวาดกราฟเสมอ เพราะช่วยลดงานลงครึ่งหนึ่ง:

• กราฟของฟังก์ชันคู่สมมาตรรอบแกน y (พับกระดาษตามแกน y แล้วสองครึ่งจะทับกันพอดี)
• กราฟของฟังก์ชันคี่สมมาตรรอบจุดกำเนิด (หมุนกราฟ 180° รอบจุดกำเนิดแล้วจะกลับมาทับตัวเองพอดี)

1.5 รายการฟังก์ชันพื้นฐานที่สำคัญ

Thomas' Calculus จัดกลุ่มฟังก์ชันที่จะพบตลอดภาคการศึกษาไว้เป็นรายการสั้น ๆ ไม่จำเป็นต้องท่องจำตาราง นี้ แต่ควรจำแนกตระกูลของฟังก์ชันได้ทันทีที่เห็น เพราะแต่ละตระกูลมีพฤติกรรมต่างกันเมื่อเข้าใกล้อนันต์ เข้าใกล้ศูนย์ และเมื่อหาอนุพันธ์

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึมจะถูกนำเสนออย่างเข้มงวดในสัปดาห์ที่ 11 (§7.2–7.3) เมื่อมีอนุพันธ์ให้ใช้นิยามอย่างรัดกุมแล้ว ตอนนี้เพียงแค่จำรูปร่างของฟังก์ชันเหล่านี้ได้ก็เพียงพอ

1.6 การรวมฟังก์ชันเชิงพีชคณิต

ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชัน สามารถสร้างฟังก์ชันใหม่แบบจุดต่อจุดได้ดังนี้:

แต่ละการรวมกำหนดขึ้นเฉพาะเมื่อทั้ง f(x) และ g(x) มีค่า กำหนดอยู่ ส่วนผลหารยังต้องการเพิ่มเติมว่า g(x) ≠ 0 กล่าวคือ โดเมนของ f + g คือ D_f ∩ D_g — คืออินเตอร์เซกชัน ไม่ใช่ยูเนียน ข้อนี้ทำให้ผู้เรียนพลาดบ่อยที่สุดในหัวข้อนี้: การบวกฟังก์ชัน สองตัวทำได้เพียงทำให้โดเมนเล็กลงเท่านั้น ไม่มีทางทำให้โดเมนขยายใหญ่ขึ้น

1.7 ฟังก์ชันประกอบ

ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชัน ฟังก์ชันประกอบ f ∘ g (“f ของ g”) นิยามโดย

อ่านจากในสุดออกมา: ใช้ g กับ x ก่อน แล้วจึงใช้ f กับผลลัพธ์ที่ได้จาก g โดเมนของ f ∘ g ประกอบด้วย x ทุกตัวในโดเมนของ g ที่ทำให้ g(x) อยู่ในโดเมนของ f ด้วย — เป็นสองเงื่อนไข ไม่ใช่หนึ่งเงื่อนไข และต้องเป็นจริงทั้งคู่

1.8 การเลื่อนกราฟ

การบวกค่าคงที่ภายในหรือภายนอกสูตรของฟังก์ชันจะเลื่อนกราฟโดยไม่เปลี่ยนรูปร่าง:

กฎการเลื่อนในแนวนอนอาจรู้สึกสวนทางกับสัญชาตญาณในครั้งแรก: f(x − 2) เลื่อนไปทางขวา ทั้งที่เครื่องหมายเป็นลบ เหตุผลคือกราฟใหม่จะมีความสูงเท่ากับ f(0) เดิม เมื่อ x − 2 = 0 นั่นคือ x = 2 — ซึ่งอยู่ทาง ขวา ของตำแหน่งเดิมสองหน่วย หากสงสัยทิศทาง ให้แทนค่าตัวเลขจริงดูเพื่อตรวจสอบ

1.9 การยืดหดและการสะท้อนกราฟ

การคูณด้วยค่าคงที่จะยืด บีบ หรือพลิกกราฟ:

เช่นเดียวกับการเลื่อน กฎในแนวนอนจะรู้สึกสวนทางกับกฎในแนวดิ่ง: การคูณ x ด้วย c > 1 จะทำให้กราฟบีบเข้า เพราะผลลัพธ์ค่าเดิมปรากฏที่อินพุตที่เล็กลง เมื่อโจทย์รวมการแปลง หลายแบบเข้าด้วยกัน Thomas' Calculus แนะนำให้ทำตามลำดับ: เลื่อนแนวนอน ยืดหด/สะท้อนแนวนอน ยืดหด/สะท้อนแนวดิ่ง แล้วจึงเลื่อนแนวดิ่ง — ตรงกับลำดับที่สูตรถูกสร้างขึ้นจากในสุดออกมา

1.10 การวัดมุมเป็นเรเดียนและฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหก

มุมที่วัดเป็น เรเดียน นิยามจากส่วนโค้งที่มุมนั้นรองรับบนวงกลมรัศมี 1 (วงกลมหนึ่งหน่วย): มุม θ เรเดียนสอดคล้องกับส่วนโค้งยาว θ เนื่องจากวงกลมเต็มวงมีเส้นรอบวง 2π การหมุนครบหนึ่งรอบจึงเท่ากับ 2π เรเดียน ทำให้ได้สูตรแปลงหน่วย

เรเดียนไม่ใช่หน่วยทางเลือกที่เลือกใช้ตามอำเภอใจแทนองศา แต่เป็นหน่วยที่ทำให้สูตรแคลคูลัสทุกสูตรที่ เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติออกมาง่ายที่สุด ตั้งแต่สัปดาห์ที่ 4 เป็นต้นไป มุมทุกมุม จะถือว่าวัดเป็นเรเดียน เว้นแต่ระบุไว้เป็นอย่างอื่น สูตรอนุพันธ์อย่าง “อนุพันธ์ของ sin x คือ cos x” เป็นจริงก็ต่อเมื่อ x วัดเป็นเรเดียน เท่านั้น

วางจุดยอดของมุม θ ที่จุดกำเนิด โดยให้ด้านเริ่มต้นอยู่บนแกน x บวก และวัด θ ทวนเข็มนาฬิกาเป็นค่าบวก ถ้า P = (x, y) เป็นจุดที่ด้านปลายของมุมตัดกับวงกลมหนึ่งหน่วย ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหกนิยามโดย

เนื่องจากวงกลมหนึ่งหน่วยมีรัศมี 1 ทุกจุดบนวงกลมจึงสอดคล้องกับ x² + y² = 1 ซึ่งนำไปสู่เอกลักษณ์ตรีโกณมิติที่สำคัญที่สุดโดยตรง กล่าวซ้ำอีกครั้ง ใน §1.12

มุมที่พบบ่อย

1.11 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

เมื่อ θ เพิ่มขึ้นเกิน 2π จุด P จะวนรอบวงกลมหนึ่งหน่วยซ้ำอีกครั้ง ดังนั้น sin และ cos จึงซ้ำทุก 2π เรเดียน นั่นคือเป็น ฟังก์ชันเป็นคาบ (periodic) ที่มีคาบ 2π ส่วนแทนเจนต์ซ้ำถี่กว่าสองเท่า คือมีคาบ π เนื่องจาก tan θ ขึ้นอยู่กับ เส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดและ P เท่านั้น ซึ่งเส้นนั้นจะกลับมาเป็นเส้นเดิมหลังหมุนไปครึ่งรอบ

sin และ cos มีโดเมน (−∞, ∞) และพิสัย [−1, 1] ส่วน tan และ cot ไม่นิยามในจุดที่ cos หรือ sin ที่เกี่ยวข้องเป็นศูนย์ตามลำดับ (มีเส้นกำกับแนวดิ่งที่จุดนั้น) และ csc, sec ไม่นิยามในจุด ที่ sin, cos ตามลำดับเป็นศูนย์ การร่างกราฟตรีโกณมิติใด ๆ จึงเป็นเพียงการฝึกใช้ §1.8–1.9: เริ่มจากกราฟต้นแบบในรูปที่ 1.3 แล้วใช้การเลื่อนและยืดหด

1.12 เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

เอกลักษณ์เหล่านี้ถูกใช้อยู่เสมอ ทั้งในวิชานี้และวิชาที่ตามมา เอกลักษณ์พีทาโกรัสได้มาโดยตรงจาก x² + y² = 1 บนวงกลมหนึ่งหน่วย:

การหารสมการ 1.8 ด้วย cos²θ หรือ sin²θ จะได้เอกลักษณ์คู่หูอีกสองข้อ:

เนื่องจาก cos เป็นฟังก์ชันคู่และ sin เป็นฟังก์ชันคี่ (เทียบ §1.4 กับรูปที่ 1.2: การสะท้อน θ เป็น −θ เปลี่ยนเครื่องหมายของ y แต่ไม่เปลี่ยน x):

สูตรการบวกมุมช่วยให้กระจาย sin หรือ cos ของผลบวกหรือผลต่างของมุมได้ — จะได้ใช้สูตรนี้ใน สัปดาห์ที่ 4 เพื่อหาอนุพันธ์ของ sin x และ cos x จากบทนิยามของอนุพันธ์:

1.13 การแปลงกราฟฟังก์ชันตรีโกณมิติ

การรวม §1.8–1.9 เข้ากับกราฟไซน์ในรูปที่ 1.3 จะได้ไซนูซอยด์ทั่วไปที่ปรากฏในการประยุกต์ใช้ ตรีโกณมิติกับข้อมูลจริงเกือบทุกกรณี (คลื่นเสียง น้ำขึ้นน้ำลง กระแสไฟฟ้าสลับ อุณหภูมิตามฤดูกาล):

1.14 อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (ไม่ออกสอบ)

อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ เป็นวิธีพิสูจน์ว่าข้อความ P(n) เป็นจริงสำหรับ จำนวนเต็ม n ≥ n₀ ทุกตัว มีสองขั้นตอน:

1. กรณีฐาน (Base case). ตรวจสอบ P(n₀) โดยตรง
2. ขั้นตอนอุปนัย (Inductive step). สมมติว่า P(k) เป็นจริงสำหรับ k ≥ n₀ ค่าใดค่าหนึ่ง (สมมติฐานอุปนัย) แล้วใช้ข้อสมมติ นั้นพิสูจน์ P(k+1)

เมื่อรวมสองขั้นตอนเข้าด้วยกัน จะแสดงว่าข้อความเป็นจริงสำหรับ n₀ (กรณีฐาน) ดังนั้นจึงเป็นจริงสำหรับ n₀+1 (ใช้ขั้นตอนอุปนัยหนึ่งครั้ง) จึงเป็นจริงสำหรับ n₀+2 (ใช้ซ้ำอีกครั้ง) และเป็นเช่นนี้ต่อไปสำหรับจำนวนเต็มทุกตัวที่มากกว่า n₀ — เปรียบเหมือนแถวโดมิโนที่ไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งกรณีฐานล้มตัวแรก และขั้นตอนอุปนัยรับประกันว่าแต่ละตัวจะล้มตัวถัดไปเสมอ

1.15 ตัวอย่างโจทย์สรุปรวม

1.16 สัญลักษณ์ที่ใช้

1.17 แบบฝึกหัด

1. โดเมน. จงหาโดเมนธรรมชาติของ f(x) = (x−1)/√(9−x²)
2. การทดสอบเส้นตรงในแนวดิ่ง. จงอธิบายว่าทำไม x² + y² = 4 จึงไม่ใช่กราฟของฟังก์ชันของ x และบอกฟังก์ชันสองตัวที่กราฟรวมกันเป็นวงกลมนี้
3. กราฟฟังก์ชันเป็นช่วง. จงร่างกราฟ f(x) = −x เมื่อ x ≤ 0 และ f(x) = x² เมื่อ x > 0 กราฟขาดที่ x = 0 หรือไม่
4. สมมาตร. จงจำแนกแต่ละฟังก์ชันว่าเป็นคู่ คี่ หรือไม่ใช่ทั้งสองอย่าง: (ก) h(x) = x⁴ − 3x²; (ข) h(x) = x + sin x; (ค) h(x) = x² + x
5. โดเมนของผลบวกและผลหาร. กำหนดให้ f(x) = √(x+3) และ g(x) = √(5−x) จงหาโดเมนของ f + g และ f/g
6. โดเมนของฟังก์ชันประกอบทั้งสองแบบ. กำหนดให้ f(x) = 1/x และ g(x) = x + 2 จงหา (f ∘ g)(x) และ (g ∘ f)(x) พร้อมโดเมน แล้วยืนยันว่าฟังก์ชันประกอบ ทั้งสองต่างกัน
7. การเลื่อนและยืดหด. เริ่มจาก y = √x จงอธิบายลำดับการแปลงที่ทำให้ ได้ y = 2√(x+3) − 1 และบอกโดเมนของผลลัพธ์
8. การอ่านกราฟที่ผ่านการแปลง. กราฟของ y = f(x) ผ่านจุด (2, 5) จงบอกจุดหนึ่งที่ต้องอยู่บนกราฟของ y = f(x−3)+1 และจุดหนึ่ง ที่ต้องอยู่บน y = −f(x)
9. การแปลงหน่วยมุม. จงแปลง 150° เป็นเรเดียน และ 7π/4 เป็นองศา
10. ค่าที่แน่นอน. ใช้สามเหลี่ยมอ้างอิงหาค่า sin(5π/6), cos(5π/6) และ tan(5π/6) โดยไม่ใช้เครื่องคิดเลข
11. การแก้สมการตรีโกณมิติ. จงแก้สมการ 2 cos x + √3 = 0 เมื่อ x ∈ [0, 2π)
12. ฝึกใช้เอกลักษณ์. ใช้สมการ 1.11–1.12 แสดงว่า sin(x + π/2) = cos x ซึ่งยืนยันความสัมพันธ์ของเฟสที่แสดงใต้รูปที่ 1.3
13. แบบจำลองไซนูซอยด์. อุณหภูมิของเมืองหนึ่งแปรผันระหว่าง 18°C ถึง 32°C ตลอดปี โดยขึ้นสูงสุดที่วันที่ 200 ของปี กำหนดให้วันที่ 0 คือวันที่ 1 มกราคม จงเขียนไซนูซอยด์ T(t) สำหรับอุณหภูมิในวันที่ t โดยสมมติคาบ 365 วัน
14. อุปนัย ไม่ออกสอบ. จงพิสูจน์ด้วยอุปนัยว่า 1 + 3 + 5 + … + (2n−1) = n² สำหรับจำนวนเต็ม n ≥ 1 ทุกตัว
15. อุปนัย ไม่ออกสอบ. จงพิสูจน์ด้วยอุปนัยว่า 2ⁿ > n สำหรับจำนวนเต็ม n ≥ 1 ทุกตัว
16. โจทย์รวม. กำหนดให้ f(x) = √(1−2 sin x) จงหาโดเมนของ f เมื่อ x ∈ [0, 2π) และหาค่า f(π)

1.18 เอกสารอ้างอิง

• Thomas, G. B., Weir, M. D. and Hass, J. Thomas' Calculus, SI Units, 15th ed. Pearson, 2024. — §A.2 (อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ โดยสังเขป), §1.1 (ฟังก์ชันและกราฟ), §1.2 (การรวมฟังก์ชัน การเลื่อนและยืดหดกราฟ), §1.3 (ฟังก์ชันตรีโกณมิติ) แหล่งอ้างอิงหลักของเนื้อหาและลำดับเลขหัวข้อในสัปดาห์นี้
• Pearson MyLab Math — การบ้านสัปดาห์ที่ 1 (10 ข้อ ทำได้ไม่เกิน 3 ครั้ง) มอบหมายโดยตรงจาก หัวข้อข้างต้น ดูวันกำหนดส่งได้ที่ปฏิทินการเรียน